谱聚类原理

本文转载于http://blog.csdn.net/betarun/article/details/51154003

这方法是昨天听同学提起的，大致翻看了几篇博客跟论文，这里写下自己的理解

从样本相似性到图

根据我们一般的理解，聚类是将相似的样本归为一类，或者说使得同类样本相似度尽量高，异类样本相似性尽量低。无论如何，我们需要一个方式度量样本间的相似性。常用的方式就是引入各种度量，如欧氏距离、余弦相似度、高斯度量等等。

度量的选择提现了你对样本或者业务的理解。比如说如果你要比较两个用户对音乐选择的品味，考虑到有些用户习惯打高分，有些用户习惯打低分，那么选择余弦相似度可能会比欧式距离更合理。

现在我们假设已有的样本为X={x1,x2,…,xn}, 我们选择的样本相似性度量函数为(xi,xj)→s(xi,xj),其中s≥0,s越大表示相似性越高。一般我们选择的是距离的倒数。据此我们可以构造相似性图，节点为样本，节点之间的连边权重为样本间的相似性，如图所示。

这是一个完全图，我们的目的是去掉一些边，使得这个图变成K个连通子图。同一个子图内的节点归为一类。因此有两方面考虑：

• 子图内的连边权重尽量大，即同类样本间尽量相似
• 去掉的边权重尽量小，即异类样本间尽量不同

一个初步的优化方法是去掉部分权重小的边，常用的有两种方式：

• ϵ准则，即去掉权重小于ϵ的所有边
• k邻近准则，即每个节点之保留权最大的几条边

现在我们得到一个较为稀疏的图。

图与图的Laplacian矩阵

为了下一步的算法推导，首先介绍图的Laplacian矩阵，我们记节点i,j连边的权重为wi,j,如果两个节点之间没有连边，wi,j=0 ，另外wii=0，那么图对应的Laplacian矩阵为：

L(G,W)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∑j≠1nw1j−w21⋮−wn1−w1,2∑j≠2nw2j⋮−wn2⋯⋯⋱⋯−w1n−w2n⋮∑j≠nnwnj⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∑j≠1nw1j∑j≠2nw2j⋱∑j≠nnwnj⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜w11w21⋮wn1w1,2w22⋮wn2⋯⋯⋱⋯w1nw2n⋮wnn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=D−W

容易看到，矩阵L行和为零,且对于任意的向量f有

f′Lf=f′Df−f′Wf=∑i=1ndif2i−∑i,j=1nfifjwij=12⎛⎝∑i=1ndif2i−2∑i,j=1nfifjwij+∑j=1ndjf2j⎞⎠=12∑i,j=1nwij(fi−fj)2

优化目标

现在我们来推导我们要优化的目标函数。前面说过，我们的目的是去掉一些边，使得这个图变成K个连通子图，我们还希望去掉的边权重尽量小。为此，假设我们已经把图分割成立K个连通子图A1,⋯,AK,那么我们去掉的边集合为

{ei,j|∃k,st.xi∈Ak and xj∉Ak}

为了方便，引入记号

W(A,B)=∑i∈A,j∈Bwij

那么

W(Ak,A¯k)=∑i∈Ak,j∉Akwij

因此去掉的边的权重和为

12∑k=1nW(Ak,A¯k)

现在的问题就转换为：找到X的划分A1,⋯,AK,使得上式最小。不幸的是，存在两个问题：

• 这是个NP难问题，没有有效算法
• 实际实验得到的结果常常将单独的一个样本分为一类

先来解决第二个问题：
我们实际希望的是，每个类别中的样本数要充分大，有两种调整目标函数的方法：

1. RatioCut，将目标函数改成
   12∑k=1nW(Ak,A¯k)|Ak|
2. Ncut, 将目标函数改成
   12∑k=1nW(Ak,A¯k)vol（Ak）
   
   其中vol(A)=∑i∈Adi

两种方法都使得某个类样本量少的时候，对应的目标函数项变大。这里我们以第一种方法为例，第二种是类似的。

现在来解决第二个问题：
我们碰到NP难问题的时候，通常是考虑近似解，谱聚类也不例外。首先，我们要引入列向量hk=(h1k,⋯,hn,k)′，其中

hij=⎧⎩⎨1|Aj|√0xi∈Ajxi∉Aj

那么，

h′kLhk=12∑i,j=1nwij(hkj−hkj)2=12∑xi∈Ak,xj∈Ak¯nwij(1|Ak|−−−−√−0)2=12W(Ak,Ak¯)|Ak|

令H=(h1,…,hK),则H′H=I,且

12∑k=1nW(Ak,A¯k)|Ak|=∑k=1nh′kLhk=tr(H′LH)

现在的问题是找到H使得tr(H′LH)尽量小。这当然还是NP问题。原因在于H的列向量元素只能选择0或者|Ak|−−−−√

这里用到的一个trick是放宽H的限制，在更大的变量空间内寻找目标函数的最小值。在这里，我们让H可以取任意实数，只要满足H′H=I.那么就是求解优化问题：

argminH′H=Itr(H′LH)

令L=Q′ΛQ,Y=QH 则Y′Y=I,

tr(H′LH)=tr((QH)′Λ(QH))=tr(Y′ΛY)=tr(YY′Λ)=∑i=1n(YY′)iiλi

由于Y′Y=I,有

0≤(YY′)ii≤1

∑i=1n(YY′)ii=tr(YY′)=tr(Y′Y)=K

可以分析得到tr(H′LH)取最小值时，必有(YY′)ii=0 or 1,
因此

tr(H′LH)≥∑i=1Kλi

且当Yk=ek时等号成立，对应的hk=(Q′Y)k=Q′ek=Q′k为L的第k小特征值对应的特征向量。

最后一步

现在我们得到了放宽限制条件下的优化问题的最优解解h1,⋯hK,如何得到原问题的一个解？

我们知道，如果H满足原来的限制条件，那么hij≠0表示第i个样本归为第j类，但是我们放宽限制条件后得到的H可能一个零都没有！

谱聚类有意思的地方是选择了对H的行向量做K-means聚类，我个人认为是基于如下考虑：

1. 对满足原始限制条件的H，行向量一致等价于类别一致
2. 在原始限制条件下得到的H跟放宽限制条件下得到的H应该比较相近

如此可以推断在放宽条件下得到的H如果行向量相似，则应该类别相似。因此直接对行向量做k-means聚类即可。

总结

至此，谱聚类的大致步骤就完成了，归纳下主要步骤

1. 计算样本相似性得到样本为节点的完全图
2. 基于ϵ准则或者m邻近准则将完全图稀疏化
3. 计算稀疏化后的图的laplacian矩阵，计算其前K小特征值对应的特征向量作为矩阵H的列
4. 对矩阵H的行向量作k-means聚类
5. 若H的第i行与第j行被聚为一类，则表示xi与xj聚为一类。

代码例子

左图是原始数据，右图是谱聚类结果

import numpy as npimport networkx as nximport scipy.linalg as llgfrom Queue import PriorityQueueimport matplotlib.pylab as pltimport heapq as hpfrom sklearn.cluster import k_means# fake data from multivariate normal distributionS = np.random.multivariate_normal([1,1], [[0.5,0],[0,0.7]],100)T = np.random.multivariate_normal([-1,-1], [[0.3,0],[0,0.8]],100)R = np.random.multivariate_normal([-1,0], [[0.4,0],[0,0.5]],100)Data = np.vstack([S,T,R])plt.subplot(1,2,1)plt.scatter(S.T[0],S.T[1],c='r')plt.scatter(T.T[0],T.T[1],c='b')plt.scatter(R.T[0],R.T[1],c='y')# calc k-nearest neighborsdef min_k(i,k):    pq = []    for j in range(len(Data)):        if i == j:            continue        if len(pq) < k:            hp.heappush( pq,(1/np.linalg.norm(Data[i]-Data[j]), j) )        else:            hp.heappushpop( pq, (1/np.linalg.norm(Data[i]-Data[j]), j) )    return pq# calc laplacianL = np.zeros((len(Data),len(Data)))for i in range(len(Data)):    for (v,j) in min_k(i, 3):        L[i,j] = -v        L[j,i] = -vL = L + np.diag(-np.sum(L,0)) # kmean(lam, vec) = llg.eigh(L)A = vec[:,0:3]kmean = k_means(A,3)plt.subplot(1,2,2)plt.scatter(Data.T[0],Data.T[1],c=['r' if v==0 else 'b' if v==1 else 'y' for v in kmean[1]])plt.show()            
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