中国剩余定理讲解

前言

作者知道网上有很多关于中国剩余定理的详细讲解，也知道本文相比于它们会逊色许多，但作者会尽力将其讲清楚。谢谢支持！

（本篇文章默认你已经知道什么是模意义，且知道逆元以及简单的模运算）

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问题

对于一个数x，已知x≡s1(mod m1), x≡s2(mod m2), …… x≡sn(mod mn)，并且保证∀i,j有gcd(mi,mj)=1，求x的最小值。

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求解

上述问题所给的等价式有个更书面的名字，叫同余方程组。现在我们考虑如何求得最小值。

我们令M=∏ni=1mi，稍加思考可以得知x+M≡si(mod mi)。故我们可以计算出在模M意义下的x值，也同样可知x在模M意义下的值即是最小答案。（模数比M小不能保证正确）

那么，如何求得x值呢？我们可以考虑构造答案。

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构造

我们可以考虑构造x=A1+A2+A3+……+An，其中Ai是跟mi有关的量。

我们思考一下模运算的性质：

A1+A2+A3≡y(mod m)

(A1mod m)+(A2mod m)+(A3mod m)≡y(mod m)

观察上面的式子，我们发现假如同时满足以下2条约束，那么答案x即是合法的：
1.对于j≠i, Ajmod mi=0；
2.Aimod mi=si。

不难发现只要Ai是除mi之外其他mj (1≤j≤n且j != i)的公倍数即可满足约束1，结合gcd(mi,mj)=1可知Ai 一定有因子 Mmi。（M的意义见上一节）

那么如何满足约束2呢？

我们不难发现Ai一定含有因子si， 但是因子Mmi的影响如何消除？其实只要乘上Mmi在模mi意义下的逆元就行了。

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整理

综合上述分析，我们令M=∏ni=1mi， Ni=Mmi， N−1i为Ni关于模mi意义下的逆元，

那么Ai=Ni×N−1i×si， 答案x即为∑ni=1Ai(mod M)。

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总结

1.构造是一种十分常见且有效的求解答案的方法，若发现题目本身约束太多且各个约束存在独立的结果，可以分析题目性质考虑构造答案。
2.中国剩余定理所能解决的范围仅限于模数互质，求解非互质的模数的同余方程组中国剩余定理并不适用。

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——wrote by miraclejzd