图论的一些概念 支配集 覆盖集 独立集

根据《图论算法理论、实现及应用》整理的内容

点支配集(Vertex Dominating Set)

设无向图为G(V,E)，顶点集合V*⊆ V，若对于∀ v ∈ (V-V*)， ∃ u ∈ V*,使得(u,v) ∈ E，则称u支配v，V* 为G的一个点支配集。
通俗地讲，V中的顶点要么是V*集合中的元素，要么与V* 中的一个顶点相邻。

极小支配集: 若支配集V*的任何真子集都不是支配集，则称V*是极小支配集
最小支配集: 顶点数最少的支配集
点支配数: 最小支配集中的顶点数，记为γ0(G), 或简记为γ0。

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点覆盖集(Vertex Covering Set)

设无向图为G(V,E)，顶点集合V*⊆ V，若对于∀ e ∈ E， ∃ v ∈ V*,使得v与e相关联，则称v覆盖e，并称V*为G的一个点覆盖集，或简称点覆盖。
通俗地讲，点覆盖集V*就是G中所有边至少有一个顶点属于V*。

极小点覆盖: 若点覆盖V*的任何真子集都不是点覆盖，则称V*是极小点覆盖
最小点覆盖: 顶点数最少的点覆盖
点覆盖数: 最小点覆盖中的顶点数，记为α0(G), 或简记为α0。

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点独立集(Vertex Independent Set)

设无向图为G(V,E)，顶点集合V*⊆ V，若V*中任何两个顶点均不相邻，则称V*为G的点独立集，或简称独立集。

极大点独立集: 若在V*中加入任何顶点的集合都不再是独立集，则称V*是极大点独立集。
最大点独立集: 顶点数最多的独立集
点独立数: 最大点独立集的顶点数，记为β0(G), 或简记为β0。

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点支配集、点覆盖集、点独立集之间的联系

定理1 设无向图G(V,E)中无孤立顶点，则G的极大点独立集都是G的极小支配集，逆命题不成立。

定理2 一个独立集是极大独立集，当且仅当它是一个支配集。

定理3 设无向图G(V,E)中无孤立顶点，顶点集合V* ⊆ V，则V*是G的点覆盖，当且仅当V-V*是G的点独立集。

推论 设G是n阶无孤立点的图，则V*是G的极小(最小)点覆盖集，当且仅当V-V*是G的极大(最大)点独立集，从而有: α0+β0=n 。

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边覆盖集(Edge Covering Set)

设无向图为G(V,E)，边的集合E*⊆ E，若对于∀ v ∈ V， ∃ e ∈ E*,使得v与e相关联，则称e覆盖v，并称E*为G的一个边覆盖集，或简称边覆盖。
通俗地讲，边覆盖集E*就是G中所有点都是E*中某条边的邻接顶点。

极小边覆盖: 若边覆盖E*的任何真子集都不是边覆盖，则称V*是极小边覆盖
最小边覆盖: 顶点数最少的边覆盖
边覆盖数: 最小边覆盖中的边数，记为α1(G), 或简记为α1。

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边独立集(匹配)

设无向图为G(V,E)，边的集合E*⊆ E，若E*中任何两条边均不相邻(没有公共顶点)，则称E*为G的边独立集，也称E*为G的匹配。

极大匹配: 若在E*中加入任何边的集合都不匹配，则称E*是极大匹配。
最大匹配: 边数最多的匹配
边独立数: 最大匹配度边数记为β1(G), 或简记为β1。

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最大匹配与最小边覆盖集之间的关系

设无向图G的顶点个数为n,且G中无孤立点。
1. 设M为G的一个最大匹配，对于G中M的每个未盖点v，选取一条与v关联的边所组成的边的集合为N，则W=M⋃N为G中的最小边覆盖。
2. 设W1为G的最小边覆盖，若G中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则M1=W1−N1为G中一个最大匹配。

α1+β1=n 。