【容斥原理】Codeforces547C[Mike and Foam]题解

题目概述

给出一个序列 {An} 和 m 个操作，每个操作是一个整数 x ：如果 Ax 没有加入到容器中，则加入；如果 Ax 已经在容器中，则移除。求每次操作后容器中 gcd(Ai,Aj)=1(i<j) 的个数。

解题报告

2017.10.30UPD：经过ChesterKing大神的指导，我发现这篇博客有一堆漏洞，十分抱歉Orz。

好像是不难的容斥题，但是我从来没有用过容斥原理QAQ，这里简单说明一下：

有 n 个集合，第 i 个集合是 Si ，用 |S| 表示集合 S 的大小，那么

|S1∪S2∪⋯∪Sn|=|S1|+|S2|+⋯+|Sn|−|S1∩S2|−|S1∩S3|−⋯−|S1∩Sn|−⋯−|Sn−1∩Sn|+|S1∩S2∩S3|+⋯+|Sn−2∩Sn−1∩Sn|⋯

ps：这里的公式之前打错了，将下面的 ∩ 打成了 ∪ 。

证明的话画图yy一下就知道了:P……总之只要记住奇加偶减就行了:P。

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我们需要求出的是容器中与 x 互质的数的个数，也就是容器中的总个数减去不与 x 互质的数的个数。设 Sp 表示容器中含有因子 p 的数的集合，那么所有 Sp|x 的并就是容器中不与 x 互质的数，这就变成了一个容斥问题。

ps：这里的因子 p 之前打成了素数 p 。

继续观察我们会发现每个数的素因子个数最多只有 7 个（ 2×3×5×7×11×13×17>500000 ），发现这个结论之后我们就可以暴力枚举来求容斥了……

ps：这里的素因子个数之前打成了 6 个，代码中由于多开了 5 个所以没发生什么……

解题报告

把 1 也用来计算就不需要记录容器总个数了，原因请读者老爷自己yy一下……

#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;const int maxn=200000,maxa=500000,maxp=6;typedef long long LL;int n,te,a[maxn+5],p[maxa+5];int lnk[maxn+5][maxp+5],Tot[maxa+5];bool pri[maxa+5],vis[maxn+5];LL ans;inline bool Eoln(char ch) {return ch==10||ch==13||ch==EOF;}inline char readc(){    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);    if (l==r) return EOF; else return *l++;}inline int readi(int &x){    int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';    while ('9'<ch||ch<'0') {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}    if (lst=='-') f=-f;    while ('0'<=ch&&ch<='9') tot=(tot<<3)+(tot<<1)+ch-48,ch=readc();    return x=tot*f,Eoln(ch);}inline void writel(LL x){    static int len,buf[20];len=0;do buf[len++]=x%10,x/=10; while (x);    for (int i=len-1;i>=0;i--) putchar(buf[i]+48);}void make_p(int n){    pri[0]=pri[1]=true;p[0]=0;    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (!pri[i]) p[++p[0]]=i;        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++)        {            pri[i*p[j]]=true;            if (i%p[j]==0) break;        }    }}void Ask(int x,int fl){    for (int i=0;i<(1<<lnk[x][0]);i++)    {        int now=1,num=0;        for (int j=1;j<=lnk[x][0];j++)            if (i&(1<<j-1)) now*=lnk[x][j],num++;        if (num&1) ans-=fl*Tot[now]; else ans+=fl*Tot[now];    }}void Update(int x,int fl){    for (int i=0;i<(1<<lnk[x][0]);i++)    {        int now=1;        for (int j=1;j<=lnk[x][0];j++)            if (i&(1<<j-1)) now*=lnk[x][j];        Tot[now]+=fl;    }}int main(){    freopen("program.in","r",stdin);    freopen("program.out","w",stdout);    readi(n);readi(te);make_p(maxa);    for (int i=1,x;i<=n;i++)    {        readi(x);        for (int j=1,S=sqrt(x);j<=p[0]&&p[j]<=S;j++)            if (x%p[j]==0)            {                lnk[i][++lnk[i][0]]=p[j];                while (x%p[j]==0) x/=p[j];            }        if (x>1) lnk[i][++lnk[i][0]]=x;    }    while (te--)    {        int x;readi(x);        if (!vis[x]) Ask(x,1),Update(x,1); else Update(x,-1),Ask(x,-1);vis[x]^=1;        writel(ans);putchar('\n');    }    return 0;}