背包问题

做了几题背包问题，写个小结
01背包
最简单的背包，其他各种背包都可以从这里衍生出去；
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
例题：
题目描述
一个旅行者有一个最多能用m公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,Cn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
输入

第1行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；

第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。
输出
仅一行，一个数，表示最大总价值。
样例输入

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

样例输出

12

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int a[50],b[50],dp[300];int main(){    int n,m;    cin>>m>>n;    for(int i=1;i<=n;i++)        cin>>a[i]>>b[i];    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=m;j>=a[i];j--)    {        dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+b[i]);    }    cout<<dp[m]<<endl;}

完全背包
完全背包模板和01背包一样就是一个循环变量反一下就好了
题目
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路
这个问题非常类似于01背包问题 ，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
例题
题目描述
设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。
输入

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；

第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。
输出

仅一行，一个数，表示最大总价值。
样例输入

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

样例输出

max=12

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int a[50],b[50],dp[300];int main(){    int n,m;    cin>>m>>n;    for(int i=1;i<=n;i++)        cin>>a[i]>>b[i];    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=a[i];j<=m;j++)    {        dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+b[i]);    }    cout<<"max="<<dp[m]<<endl;}

多重背包
多重背包就是在01背包上多加一重循环判断可以拿的次数
题目
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本算法
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
例题
题目描述

  为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动

员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。
输入

第一行二个数n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。

接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和购买的

数量（买0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。
输出

第一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。
样例输入

5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1

样例输出

1040

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int a[505],b[505],dp[7000],c[505];int main(){    int n,m;    cin>>n>>m;    for(int i=1;i<=n;i++)        cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=m;j>=0;j--)           for(int k=0;k<=c[i];k++)       {           if(j<k*a[i]) break;            dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]*k]+b[i]*k);       }    cout<<dp[m]<<endl;}

分组背包
分组背包就是在01 背包上加了个二维数组判断多了重循环
题目：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
算法
这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：
f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于第k组}
使用一维数组的伪代码如下：
for 所有的组k
for v=V..0
for 所有的i属于组k
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
例题
题目描述

一个旅行者有一个最多能用V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn，它们的价值分别为C1,C2,…,Cn。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输入

第1行：三个整数，V(背包容量，V<=200)，N(物品数量，N<=30)和T(最大组号，T<=10)；

第2..N+1行：每行三个整数Wi,Ci,P，表示每个物品的重量，价值，所属组号。

输出
仅一行，一个数，表示最大总价值。
样例输入

10 6 3
2 1 1
3 3 1
4 8 2
6 9 2
2 8 3
3 9 3

样例输出

20

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;int a[50],b[50],c[50],dp[300],mm[50][50];int main(){    int m,n,t,tt;    cin>>m>>n>>t;    for(int i=0;i<n;i++)    {        cin>>a[i]>>b[i]>>tt;        mm[i][tt]=1;    }    for(int i=1;i<=t;i++)        for(int j=m;j>=0;j--)        for(int k=0;k<n;k++)    {        if(mm[k][i]&&j>=a[k])            dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[k]]+b[k]);    }    cout<<dp[m]<<endl;}

差不多写到这里了
暑假集训最后几天学的背包基本题目
暑假最后一篇博客了
开学还会再努力写的
一个暑假积累了很多量，虽然没有什么质的突破，但学了很多
这个暑假很充实。很累。