数据结构实验之查找二：平衡二叉树

平衡二叉树

对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。

平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1

一棵好的平衡二叉树的特征：

（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)

（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)

一、平衡二叉树的构造

在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树

1.调整方法

（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点

（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。

2.调整方式

（1）LL型

LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。

（2）RR型

RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转

由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。

（3）LR型

LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，第二次再调整最小不平衡子树。

 

 由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

（4）RL型

RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转再左旋转；处理情况与LR类似。

以上内容转自：http://blog.csdn.net/zhuyingqingfen/article/details/6530434感谢大神。

3.建平衡二叉树

创建平衡二叉树，我们采用依次插入节点的方式进行。而平衡二叉树上插入节点采用递归的方式进行。递归算法如下：

（1）      若该树为一空树，那么插入一个数据元素为e的新节点作为平衡二叉树的根节点，树的高度增加1。

（2）      若待插入的数据元素e和平衡二叉树（BBST）的根节点的关键字相等，那么就不需要进行插入操作。

（3）      若待插入的元素e比平衡二叉树（BBST）的根节点的关键字小，而且在BBST的左子树中也不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入在BBST的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加1时，分别就下列情况处理之。

(a)    BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：则将根节点的平衡因子更改为0，BBST的深度不变；

(b)    BBST的根节点的平衡因子为0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为1，BBST的深度增加1；

(c)    BBST的根节点的平衡因子为1（左子树的深度大于右子树的深度）：若BBST的左子树根节点的平衡因子为1，则需要进行单向右旋转平衡处理，并且在右旋处理后，将根节点和其右子树根节点的平衡因子更改为0，树的深度不变；

若BBST的左子树根节点的平衡因子为-1，则需进行先向左，后向右的双向旋转平衡处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；

（4）      若e的关键字大于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入到BBST的右子树上，并且当插入之后的右子树深度加1时，分别就不同的情况处理之。

（a）      BBST的根节点的平衡因子是1（左子树的深度大于右子树的深度）：则将根节点的平衡因子修改为0，BBST的深度不变；

（b）      BBST的根节点的平衡因子是0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为-1，树的深度加1；

（c）      BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行两次选择，第一次先向右旋转，再向左旋转处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；

若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行一次向左的旋转处理，并且在左旋之后，更新根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变。

建树内容转自：http://blog.csdn.net/guoqingshuang/article/details/50190119感谢大神。

Problem Description根据给定的输入序列建立一棵平衡二叉树，求出建立的平衡二叉树的树根。Input输入一组测试数据。数据的第1行给出一个正整数N(n <= 20)，N表示输入序列的元素个数；第2行给出N个正整数，按数据给定顺序建立平衡二叉树。Output输出平衡二叉树的树根。Example Input588 70 61 96 120Example Output70Hint  

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>typedef struct BiTNode{int data;BiTNode *lchild,*rchild;int id;}BiTNode,*BiTree;int max(int a,int b){return a>b?a:b;}int depth(BiTree T){if(!T)return -1;return T->id;}BiTree LL(BiTree T){//右旋 BiTree q = T->lchild;T->lchild = q->rchild;q->rchild = T;q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;return q;}BiTree RR(BiTree T){//左旋 BiTree q = T->rchild;T->rchild = q->lchild;q->lchild = T;q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;return q;}BiTree LR(BiTree T){T->lchild = RR(T->lchild);//先左 return LL(T);//后右 }BiTree RL(BiTree T){T->rchild = LL(T->rchild);//先右 return RR(T);//后左 }void creat(BiTree &T,int key){if(T==NULL){T= new BiTNode;T->data = key;T->lchild = T->rchild = NULL;T->id = 0;}else{if(key<T->data){creat(T->lchild,key);if(depth(T->lchild)-depth(T->rchild)>1){if(key < T->lchild->data)T=LL(T);elseT=LR(T);}}else if(key>T->data){creat(T->rchild,key);if(depth(T->rchild)-depth(T->lchild)>1){if(key>T->rchild->data)T=RR(T);elseT=RL(T);}}}T->id=max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;}int main(){int n,i;int a[22];BiTree T;T = NULL;scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);creat(T,a[i]);}printf("%d\n",T->data);return 0;}