P quant与Q quant

一、Q Quant——衍生品定价

      量化衍生品定价由Bachelier于1900年提出，他在其学位论文中首次将最基本同时也是极具影响力的随机过程——布朗运动，应用于期权的定价。但这一理论一直没有引起关注，直到Merton（1969）以及Black和Scholes（1973）将第二个极具影响力的随机过程——几何布朗运动，引入期权定价。而下一个推动QQuant发展的里程碑，则是Harrison和Pliska在1981年提出的资产定价的基础理论。他们认为，如果证券当前的价格P0是无套利空间的，也就是真正完全公允的，当且仅当描述该证券价格未来变化的随机过程Pt的数学期望等于P0。即，

P0=E{Pt}，t≥0。

      满足上式的过程称为“鞅”，而且从上式也可看出，鞅并不对风险给予回报。因此，证券价格所服从的随机过程的概率测度被称为是“风险中性”的，通常用字母Q表示，这也是“Q Quant”这一名称的由来。此外，由于上式对任意时刻t都成立，所以用于衍生品定价的随机过程自然也都是建立在连续时间的框架之上的。

      那些从事Q Quant——衍生品定价的金融工程师，对其建模的特定产品都有着极其深入的了解。每一个证券都是被单独定价的，因此本质上QQuant中的问题都是低维的。

校准（calibration）是Q Quant所面临的一个主要挑战。因为，一旦一个连续时间的随机过程模型被校准后用于一系列已经流通的证券，那么它也应当被用于对类似的新上市衍生品进行定价。

      处理连续时间Q-过程的主要量化工具为随机微积分和偏微分方程。在过去的几十年间，这些高阶技术吸引了大量的数学家、物理学家和工程师投身于衍生品定价这一领域。

 

二、P Quant——风险与组合管理

      风险与组合管理定位于在某一给定的投资范围内，对市场价格建立概率分布模型。这一真实的概率分布通常用字母P表示，以区别于衍生品定价中的“风险中性”测度Q。基于真实分布，买方的主要工作就是决定证券的仓位以改善组合的收益-风险特征。

      风险与组合管理的量化理论起源于Markowitz（1952）的均值-方差体系。随后，Treynor（1962）、Mossin（1966）、Sharpe（1964）、Lintner（1965）和Ross（1976）建立的资本资产定价模型（CAPM）和套利定价模型（ATP）更是让这一领域有了突破性的发展。

      上述理论都为理解证券市场提供了非凡的洞见，但是它们都假设概率分布P是已知的。但在实际操作中，P必须从可获得的市场信息中估计得到。而信息的一个主要来源便是历史价格的变化以及其他一些金融变量，这些都是在离散的时间点上采集并记录的。

      估计（estimation）是P Quant所面临的主要挑战。对离散时间序列的分析需要高阶的多元统计和计量经济的技术。值得注意的是，在风险和组合管理中，估计市场上所有证券的联合分布函数非常重要，每个证券不可能像在QQuant中那样被单独考虑。因此，降维技术，如，线性因子模型，在PQuant中扮演着核心角色。

      为了解决上述问题，近年来，PQuant也成为了金融行业中的一个重要岗位。而那些原本用以训练QQuant金融工程师的硕士项目也越来越多地加入了PQuant的课程，以满足市场的需要。

 

      在实际中，两者的共同点多不胜数，在多个领域都有着频繁的交叉。

 （一）对冲

      对冲是P Quant和Q Quant直接交叉的一个典型案例。

      对冲的目的是保护某一给定头寸的收益免受一系列风险因子的影响。因此，对冲是一个P Quant的概念。

      但是，为了确定买入或卖出对冲工具的数量，投资者必须计算给定头寸和对冲工具对风险因子的敏感性。

      而这些敏感性就是众所周知的“希腊字母（Greeks）”。最基础的“希腊字母”就是写在给定证券上的期权的“delta”，它也是期权对标的证券的敏感性。期权的delta告诉投资者需要卖空多少标的以保护所写的期权价值免受标的波动的影响。

      希腊字母是从Q Quant的定价模型中计算得到的，随后在P Quant中被用来进行对冲。有趣的是，Q Quant中的定价模型同样也可以基于P Quant中对冲的概念来获得。

 

（二）统计套利

     在统计套利的领域，Q Quant也已渗透到了P Quant之中。两者相互交叉应用的具体步骤如下。

      首先，Q Quant中的模型被用来寻找当前证券价格中的定价误差。其次，被错误定价的证券价格最终会收敛于Q Quant模型的预测值。

      因此，P Quant中的预期收益，或者称为“alpha”，就可以通过比较当前的错误定价和Q模型的预测价格来确定。第三，如果alpha是正的，则建立多头头寸，即买入定价错误的证券；反之，则建立空头头寸，即卖空定价错误的证券。

      

      它们虽然同样都是把数学模型应用到金融领域中，但是原理和受众却大相径庭，而且各自的风头此消彼长，相当于是金融量化领域的“少林”和“武当”。

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