严蔚敏数据结构（C语言版）理解以及部分习题

第一章 绪论

《数据结构》考试知识点 第一章 绪论
1、数据结构中有关数据、数据元素、数据项、数据结构等基本概念，特别是数据的逻辑结构和存储结构之间的关系
2、类C语言的规范书写
3、算法的定义及其特性
4、计算语句频度和估算算法时间复杂度
1.关于数据的逻辑结构：

1. 线性结构
   

   1）一般线性表
   2）受限的线性表（队列和栈，串）
   3）线性表推广（数组，广义表）

2. 非线性结构

   1）集合
   2）树形结构（一般树，二叉树）
   3）图状结构（有向图，无向图）

   1. 
      2.求递归函数时间复杂度：
      递归函数时间复杂度分析
      (1) 递归运行过程
      样例：求N!。
      这是一个简单的”累乘”问题，用递归算法也能解决。
      n! = n * (n - 1)! n > 1
      0! = 1, 1! = 1 n = 0,1
      因此，递归算法例如以下：

C语言代码

int fact(int n) {      if(n == 0 || n == 1)            return 1;          else                return n * fact(n - 1);      }  

以n=3为例，看运行步骤例如以下： fact(3) ----- fact(2) ----- fact(1) ------ fact(2) -----fact(3) ------------------------------>  ------------------------------>             递归                            回溯 

递归算法在运行中不断调用自身减少规模的过程，当规模降为1，即递归到fact(1)时，满足停止条件停止递归，開始回溯(返回调用算法)并计算，从fact(1)=1计算返回到fact(2);计算2*fact(1)=2返回到fact(3)；计算3*fact(2)=6，结束递归。
算法的起始模块也是终止模块。
(2) 递归实现机制
每一次递归调用，都用一个特殊的数据结构”栈”记录当前算法的运行状态，特别地设置地址栈，用来记录当前算法的运行位置，以备回溯时正常返回。递归模块的形式參数是普通变量，每次递归调用得到的值都是不同的，他们也是由”栈”来存储。
(3) 递归调用的几种形式

    一般递归调用有以下几种形式(当中a1、a2、b1、b2、k1、k2为常数)。    <1> 直接简单递归调用： f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); ...};    <2> 直接复杂递归调用： f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); a2 * f((n - k2) / b2); ...};     <3> 间接递归调用：  f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); ...}，                         g(n) {...a2 * f((n - k2) / b2); ...}。 

1. 递归算法效率分析方法
   递归算法的分析方法比較多，最经常使用的便是迭代法。
   迭代法的基本步骤是先将递归算法简化为相应的递归方程，然后通过重复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，最后求级数的和，再预计和的渐进阶。

 <1> 例：n!        算法的递归方程为： T(n) = T(n - 1) + O(1);        迭代展开： T(n) = T(n - 1) + O(1)                        = T(n - 2) + O(1) + O(1)                        = T(n - 3) + O(1) + O(1) + O(1)                        = ......                        = O(1) + ... + O(1) + O(1) + O(1)                        = n * O(1)                        = O(n)       这个样例的时间复杂性是线性的。 

<2> 例：例如以下递归方程：

   T(n) = 2T(n/2) + 2, 且如果n=2^k。       T(n) = 2T(n/2) + 2            = 2(2T(n/2*2) + 2) + 2            = 4T(n/2*2) + 4 + 2            = 4(2T(n/2*2*2) + 2) + 4 + 2            = 2*2*2T(n/2*2*2) + 8 + 4 + 2            = ...            = 2^(k-1) * T(n/2^(i-1)) + (里面是一串等比数列的前n项和)           = 2^(k-1) + (2^k) - 2            = (3/2) * (2^k) - 2            = (3/2) * n - 2            = O(n)       这个样例的时间复杂性也是线性的。 

<3> 例：例如以下递归方程：

      T(n) = 2T(n/2) + O(n), 且如果n=2^k。       T(n) = 2T(n/2) + O(n)            = 2T(n/4) + 2O(n/2) + O(n)            = ...            = O(n) + O(n) + ... + O(n) + O(n) + O(n)            = k * O(n) (其中k=log2n)           = O(k*n)            = O(nlog2n) //以2为底       一般地，当递归方程为T(n) = aT(n/c) + O(n), T(n)的解为：       O(n)          (a<c && c>1)       O(nlog2n)     (a=c && c>1) //以2为底       O(nlogca)     (a>c && c>1) //n的(logca)次方，以c为底 

以上3种递归调用形式，比较经常使用的是第一种情况，另外一种形式也有时出现，而第三种形式(间接递归调用)使用的较少，且算法分析
比较复杂。 以下举个另外一种形式的递归调用样例。

 <4> 递归方程为：T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n      //为了更好的理解，先画出递归过程相应的递归树：                             n                        --------> n                     n/3            2n/3              --------> n               n/9       2n/9   2n/9     4n/9         --------> n            ......     ......  ......  .......        ......                                                      --------                                                      总共O(nlogn) 

   累计递归树各层的非递归项的值，每一层和都等于n，从根到叶的最长路径是：       n --> (2/3)n --> (4/9)n --> (12/27)n --> ... --> 1      设最长路径为k，则应该有：      (2/3)的k次方 * n = 1      得到 k = log(2/3)n  // 以(2/3)为底      于是 T(n) <= (K + 1) * n = n (log(2/3)n + 1)      即 T(n) = O(nlogn)     由此样例表明，对于另外一种递归形式调用，借助于递归树，用迭代法进行算法分析是简单易行的。

以下是绪论内容的部分习题：

待续。。。。。