矩阵基础（二）

高斯约当法消元法求矩阵的逆

矩阵的可逆性，矩阵A如果存在非零向量x使得：

Ax=0

这说明矩阵A不可逆。
如果矩阵A可逆，则：

AA−1=A−1A=I(单位矩阵)

这里先仅仅考虑方阵，非方阵则需要考虑左右逆，因此需要去掉中间的等式。

假设可逆矩阵：

A=[1425]

假设其逆矩阵：

A−1=[acbd]

则满足：

A∗A−1=[1425]∗[acbd]=[1001]

求解逆矩阵可以看做求解两个线性方程组：

[1425]∗[ac]=[10][1425]∗[bd]=[01]

按照矩阵基础（一）中的“用高斯消元法解线性方程组”我们可以使用左乘初等矩阵进行行变化分别解得未知数a、b、c、d。但是这时约当跟高斯说，一起算吧，于是就把他们两个放在一起，变成一个曾广矩阵来进行行变换，即：

[A|I]⟹[14251001]⟹[I|E]⟹⎡⎣⎢⎢1001−53432313⎤⎦⎥⎥

左乘初若干个初等矩阵的乘积E使得矩阵A变为单位阵，这样显然该初等矩阵E就是所要求得A的逆矩阵，即：

A−1=E=⎡⎣⎢⎢−53432313⎤⎦⎥⎥

LU分解与行置换矩阵

对于n阶矩阵，在不需要进行置换行的时候，进行LU分解需要的次数是：

n2+(n−1)2+⋯+22+12≈13n3

不过大部分情况下矩阵能够进行LU分解时都需要进行行互换，对于n阶矩阵，其行置换矩阵有n的阶乘个。
比如，3阶方阵的行置换矩阵有一下3*2种：

⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢010100001⎤⎦⎥⎡⎣⎢001010100⎤⎦⎥⎡⎣⎢100001010⎤⎦⎥⎡⎣⎢001100010⎤⎦⎥⎡⎣⎢010001100⎤⎦⎥

设行置换矩阵为P，则：

P−1=PT

一般情况下矩阵的LU分解为以下形式：

PA=LU

对称矩阵

设矩阵A满足：

AT=A

则A就是对称矩阵，一般对称矩阵可有由任意矩阵R，通过

RTR

得到。
因为：

(RTR)T=RT(RT)T=RTR