优化问题及其Lagrange对偶问题
来源:互联网 发布:wps当前网络受限 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 08:02
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优化和凸优化问题
优化问题
凸优化问题
Lagrange函数和对偶函数
对偶函数是凹函数
如果Lagrange函数关于
对偶函数是原问题最优值的下界
设
由于每一个可行点
Lagrange对偶问题
Lagrange对偶问题形式
Lagange对偶函数给出了原问题最优值
满足
对偶问题的最优解称为对偶最优解或最优Lagrange乘子。
Lagrange对偶问题是凸优化问题
极大化的目标函数是凹函数,且约束集合是凸集。对偶问题的凸性和原问题是否是凸优化问题无关。
弱对偶和强对偶
弱对偶
强对偶和Slater条件
强对偶和弱化Slater条件
互补松弛性和KKT条件
互补松弛条件
由于求和项
它对任意原问题最有解和对偶问题最优解都成立(当对偶性成立时)。进一步地
KKT优化条件
总结起来
- 广义拉格朗日的梯度为零
- 所有关于
- 不等式约束显示的“互补松驰性”:
凸优化问题的KKT条件
优化问题中的KKT条件为具有强队对偶性的必要条件,而对于凸优化问题,KKT条件则是充要条件。
参考资料
深入理解拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7919597
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