图论总结（4）有向图的强连通分量

有向图的强连通分量：有向图G中，如果有两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通（stringly connected），简称SCC。

如果有向图G的每个顶点都强连通，则称G是一个强连通图。

非强连通图的极大强连通子图，称为强连通分量。

蓝书上给了两种算法：

一.Kosaraju算法：

按照SCC图拓扑排序的逆序进行遍历。先正序遍历的到拓扑排序，再构造G的反向图G2（所有边相反），最后按拓扑排序的逆序进行遍历。

模板：

vector<int>G[maxn],G2[maxn];vector<int>s;int vis[maxn],sccno[maxn],scc_cnt;void dfs1(int u){if(vis[u])return ;vis[u]=1;for(int i=0;i<G[u].size();i++)dfs1(G[u][i]);s.push_back(u);}void dfs2(int u){if(sccno[u])return ;sccno[u]=scc_cnt;for(int i=0;i<G2[u].size();i++)dfs2(G[u][i]);}void find_scc(int n){scc_cnt=0;s.clear();memset(sccno,0,sizeof(sccno));memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])dfs1;for(int i=n-1;i>=0;i--)if(!sccno[s[i]]){scc_cnt++;dfs2[s[i]];}}

二.tarjan算法：

定义pre（u）数组为节点u的次序编号（时间戳）。low（u）为u或u的子树能够追溯到的最早节点的次序号。

由定义可以得出：

low（u）=min（pre(v),low(u)）v为u的子树且v！=fa；

当DFN（u）=low（u）时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

模板：

vector<int>G[maxn];int pre[maxn],low[maxn],sccno[maxn];int dfs_clock,scc_cnt;stack<int>s;void dfs(int u){pre[u]=low[u]=++dfs_clock;s.push(u);for(int i=0;i<G[u].size();i++){int v=G[u][i];if(!pre[v]){dfs(v);low[u]=min(low[u],low[v]);}else if(!sccno[v]){low[u]=min(low[u],pre[v]);}if(low[u]==pre[u]){scc_cnt++;for(;;){int x=s.top();s.pop();sccno[x]=scc_cnt;if(x==u)break;}}}}void find_scc(int n){dfs_clock=scc_cnt=0;memset(sccno,0,sizeof(sccno));memest(pre,0,sizeof(pre));for(int i=0;i<n;i++)if(!pre[i])dfs(i);}

个人觉得第一种要好写一点。

（要开学了，感觉图论总结了就没时间复习其他了，之后总结就精简点了。。。）