《数据结构(C语言版)》- 树和二叉树

来源：互联网发布：淘宝卷和商品连在一起编辑：程序博客网时间：2024/05/23 01:19

本文将讨论非线性数据结构中的树型结构。树型结构中树和二叉树最常用，直观来说，树是以分支关系定义的层次结构，树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱，最上面是族长，然后下面依次是族长的孩子，孙子等等。这就可以用树来更加形象的表示。树在计算机领域中也有十分广泛地应用，如在编译程序中，可用树来表示源程序的语法结构。

1. 树的定义

树的形状如下图：

这里写图片描述

树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集。树需要满足的条件如下：

有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点，如图中的结点A就是这棵树的根节点；
当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1，T2，...,Tm，其中每一个集合又可以作为一棵树，并称为根的子树(SubTree);

2. 树结构中的基本术语

下面将列出树结构中的一些基本术语：

树的结点所拥有的子树的个数称为结点的度(Degree)。如上图中，A的度为6，D的度为1，P的度为0；
度为0的结点称为叶子(Leaf)或终端结点。如上图中，B,C,H,I,P,Q,K,L,M,N都是叶子结点；
树的度是树内各结点的度的最大值。如上图中，树的度为4；
结点的子树的根称为该结点的孩子(Child)，该结点同样称为孩子的双亲(Parent)。如上图中，E为A的子树的根，则E为A的孩子，而A则是E的双亲；
同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。如上图中，B,C,D,E,F,G互为兄弟；
结点的祖先是从根到该结点所经过分支上的所有结点。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。如上图中，P的祖先为A,E,J，E的子孙为I,J,P,Q；
结点的层次(Level)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
结点双亲都在同一层的结点互为堂兄弟。如上图中，H,I,J,K,L,M,N互为堂兄弟。
树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度。如上图中，树的深度为4；
如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树,否则称为无序树。如上图中，如果将A的以D为根的子树和以E为根的子树互换位置后和原先的树表示两颗树，则称该树为有序树，如果表示同一棵树，则称该树为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子；
森林(Forest)是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。

3. 二叉树的定义

二叉树(Binary Tree)是另一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有两颗子树，也就是说，二叉树不存在度大于2的结点，并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

一颗深度为k且有2k−1 个结点的二叉树称为满二叉树，即满二叉树的每一层的结点数都是最大结点树。

如果对满二叉树的结点进行连续编号，约定遍号从根节点起，自上而下，自左至右。其中，深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完成二叉树。

如下图，(a)和(b)分别为完成二叉树和满二叉树，而(c)和(d)为非完成二叉树：

这里写图片描述

抽象数据类型二叉树的定义如下：

这里写图片描述

4. 二叉树的性质

下面叙述二叉树的重要性质：

性质1 ：在二叉树的第i层上至多有2i−1个结点(i≥1)。
性质2 ：深度为k的二叉树至多有2k−1个结点(k≥1)。
性质3 ：对任何一颗二叉树T，如果其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
性质4 ：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1。
性质5：如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1≤i≤n)，有：
(1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2] 。
(2) 如果2i>n，则结点i无左孩子(由于是完全二叉树，所以结点i是叶子结点)；否则其左孩子是结点2i。
(3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

5. 二叉树的Java实现

下面是二叉树的Java实现：

二叉树结构类：

/** * Created by yuzhan on 2017/8/24. */public class TreeNode<T> {    public T val;           //结点值    public TreeNode<T> left;      //左结点的值    public TreeNode<T> right;     //右结点的值    public TreeNode(T data){        this.val = data;        this.left = null;        this.right = null;    }    public TreeNode(){    }}

二叉树方法接口

/** * 二叉树接口 * Created by yuzhan on 2017/8/24. */public interface BinaryTree<T> {    /**     * 构造空二叉树     */    TreeNode InitBiTree();    /**     * 销毁二叉树     */    void DestroyBiTree(TreeNode tree);    /**     * 按Object[]构造二叉树     */    TreeNode CreateBiTree(Object[] array);    /**     * 将二叉树清为空树     */    void ClearBiTree(TreeNode tree);    /**     * 若二叉树存在，则返回TRUE，否则FALSE     */    Boolean BiTreeEmpty(TreeNode tree);    /**     * 返回二叉树的根     * @return     */    T Root(TreeNode tree);    /**     * 先序遍历     */    void preOrderByRecurse(TreeNode node);    /**     * 中序遍历     */    void InOrderByRecurse(TreeNode root);    /**     * 后序遍历     */    public void PostOrderByRecurse(TreeNode root);}

二叉树方法接口实现类

import java.util.ArrayList;import java.util.List;/** * 二叉树接口实现类 * Created by yuzhan on 2017/8/24. * */public class BinaryTreeImpl<T> implements BinaryTree<T>{    /**     *  构造空二叉树T     */    public TreeNode InitBiTree(){        return new TreeNode();    }    /**     * 销毁二叉树     */    public void DestroyBiTree(TreeNode tree){        if(tree != null){            tree.val   = null;            tree.left  = null;            tree.right = null;        }else{            throw new IllegalArgumentException("二叉树为空");        }    }    /**     * 按Object[]构造二叉树     */    public TreeNode CreateBiTree(Object[] array){        if(array == null || array.length == 0){            throw new IllegalArgumentException("输入不合法");        }else{            //将Object存入list中            List<TreeNode<T>> list = new ArrayList<>();            for(int i = 0;i < array.length;i++){                list.add(new TreeNode<T>((T) array[i]));            }            //为结点赋值(由于是完全二叉树构造方式,所以非叶子结点的数量为[n/2])            for(int j = 0;j < (list.size() /2);j++){                try {                    //为左子树赋值 2*j + 1                    if((2*j + 1) < list.size())                        list.get(j).left = list.get(2 * j + 1);                    else                        list.get(j).left = null;                    //为右子树赋值 2*j + 2                    if((2*j + 2) < list.size())                        list.get(j).right = list.get(2 * j + 2);                    else                        list.get(j).right = null;                } catch (Exception e) {                    e.printStackTrace();                }            }            TreeNode tree = new TreeNode();            //为根结点赋值            tree.val = list.get(0).val;            //为根结点的左子树赋值            if(list.get(0).left != null){                tree.left = list.get(0).left;            }else{                tree.left = null;            }            //为根结点的右子树赋值            if(list.get(0).right != null){                tree.right = list.get(0).right;            }else{                tree.right = null;            }            return tree;        }    }    /**     * 将二叉树清为空树     */    public void ClearBiTree(TreeNode tree){        if(tree.val != null){            tree.val = null;            tree.right = null;            tree.left = null;        }else{            throw new IllegalArgumentException("二叉树为空");        }    }    /**     * 若二叉树存在，则返回TRUE，否则FALSE     */    public Boolean BiTreeEmpty(TreeNode tree){        if(tree.val != null){            return false;        }else{            return true;        }    }    /**     * 返回二叉树的根     * @return     */    public T Root(TreeNode tree){        if(tree.val != null){            return (T) tree.val;        }else{            throw new IllegalArgumentException("二叉树为空");        }    }    /**     * 先序遍历     */    public void preOrderByRecurse(TreeNode root) {        if (root == null) {            return;        }        System.out.print(root.val+" ");        preOrderByRecurse(root.left);        preOrderByRecurse(root.right);    }    /**     * 中序遍历     */    public void InOrderByRecurse(TreeNode root) {        if (root == null) {            return;        }        InOrderByRecurse(root.left);        System.out.print(root.val+" ");        InOrderByRecurse(root.right);    }    /**     * 后序遍历     */    public void PostOrderByRecurse(TreeNode root) {        if (root == null) {            return;        }        PostOrderByRecurse(root.left);        PostOrderByRecurse(root.right);        System.out.print(root.val+" ");    }}

测试类

  public static void main(String[] args) {        BinaryTree<Integer> bt = new BinaryTreeImpl<>();        TreeNode tree;        //tree = bt.InitBiTree();           // 初始化空二叉树        //bt.DestroyBiTree(tree);           //销毁二叉树        Object[] array = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};        tree = bt.CreateBiTree(array);      //构造二叉树        //bt.ClearBiTree();                 //清空二叉树        Boolean flag = bt.BiTreeEmpty(tree);//判断二叉树是否存在        Integer root = bt.Root(tree);       //返回二叉树的根结点        bt.preOrderByRecurse(tree);         //前序遍历        System.out.println();        bt.InOrderByRecurse(tree);          //中序遍历        System.out.println();        bt.PostOrderByRecurse(tree);        //后序遍历    }

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