Dijkstra算法和Floyd算法概述
来源:互联网 发布:淘宝直播难申请成功 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 10:30
Dijkstra算法
(适用于 单源最短路问题。且没有负路权。)
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)
2.算法描述
1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤:
a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则(u,v)正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则(u,v)权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
动画执行过程
核心代码:
const int maxn=110;const long long INF=0x3f3f3f3f;//INF要是一个很大的数。int map[maxn][maxn],dis[maxn],s[maxn];int n;//节点个数void Dijkstra(int begin){ memset(s,0,sizeof(s)); int i,j,pos,minn; for(i=1; i<=n; i++) dis[i]=map[begin][i];//初始化 dis[begin]=0; s[begin]=1;//将源点放入集合s中 for(i=1; i<=n; i++) { minn=INF; for(j=1; j<=n; j++) { if(dis[j]<minn && !s[j]) { minn=dis[j]; pos=j;//找出距上一个已确定最短路径点最近的点 } } if(minn==INF) break; s[pos]=1;//放入集合s中 for(j=1; j<=n; j++) { if(dis[pos]+map[pos][j]<dis[j] && !s[j]) dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];//更新pos连出去的所有边 } }}
Floyd算法
1.定义概览
Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理:
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在) 从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述:
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。
b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
核心代码
int n;//节点个数int m;//边的个数#define INF 0x3f3f3f3ffor(int i=1; i<=n; i++){ for(int j=1; j<=n; j++) { if(i==j) dis[i][j]=0; else dis[i][j]=INF; }}for(int k=1; k<=n; k++)//循环顺序一定不要弄反了 for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
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