算法六：floyd-warshall和dijkstra



Floyd-Warshall
求两点之间的最短路径
实际为“动态规划”的思想。
1、先只考虑通过1号顶点进行中转，求两点之间的最短路径，只需判断e[i][1]+e[1][j]<e[i][j],其中i为所有的点（1-n循环），j也一样。
2、接下来考虑1号和2号顶点中转，求两点之间的最短路径，只需判断e[i][2]+e[2][j]<e[i][j],其中i为所有的点（1-n循环），j也一样。
3、最后考虑经过1~n号所有顶点中转。
for(k=1;k<=n;k++)
{
 for(i=1;i<=n;i++)
  for(j=1;j<=n;j++)
   if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])
    e[i][j]=e[j][k]+e[k][j];
}
时间复制度为O（N^3)

Dijkstra算法-通过边实现松弛
是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。注意该算法要求图中不存在负权边。

2)算法步骤：时间复制度O(（M+N)LogN）

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

例子：比如我们要求从1号顶点到其余各个顶点的最短路径：
1、二位数组e存储顶点之间边的关系，一位数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路径。

2、先找一个离1号顶点最近的顶点（比如有a,b顶点），发现1-a的距离比较近，找到后就把“估计值”变成“确定值”。

3、定下a号顶点后，接下来再看a号顶点有哪些出边（比如有b,c顶点），再计算1通过a到b的距离，计算1到b的距离，看看那个小，如果小就把dis[b]更新为短的距离（松弛）。

4、再从b点出发，调到2，一直反复直把所有的“估计值”变成“确定值”，该确定值就是最短路径。