KMP算法的一些细节

此篇记录了我学习KMP算法时的迷惑和解决过程

（本篇适合学习KMP算法之后，对算法尚有些迷惑的朋友，欢迎大家批判）

1、第一个疑问：KMP算法是否一定能求出正确的首个匹配下标（匹配字符串的第一个字符的下标）

因为KMP算法不像暴力求解算法一样是一个一个字符行进的，有点类似跳跃的行进，跳过了不需要匹配的字符，我产生了一个疑问，在行进的过程中是否会遗漏本可以匹配的字符串，导致得到的匹配下标不是首个匹配下标，而是第二或第三第四个

反证，假设不能。即存在一个被忽略的更小的下标。

          k

A B A B A A B........

A B A A B          ------>黄色为匹配失败处

   i   h  k           (i是假设的，h为最长前缀开始处)

A B A B A A B........

       A B A A B   ------>不同于暴力求解一位一位右移，而是类似“跳跃”。红色处为最长前缀，黄色处继续匹配

假设我们会遗漏一个“更小的匹配下标i”，使得文本txt[i]~txt[i+length] (length为模式串长度)与模式串pat[0]~pat[length]匹配，那么txt[i]~txt[k]一定是比我们当前的“最长前缀”txt[h]~txt[k]更长的前缀，则与“next数组保存的是最长前缀”相矛盾，故不可能存在更长的前缀，即i不存在。

证得：我们不会遗漏一个更小的匹配下标

2、next数组的求法

01234k678910 j j+1ABGABBABGABGH-100012012345?       

                            next[k] = 2
                                              

第一行为模式串下标，第二行为模式串，第三行为next值

我们现在要求next[j+1]，我们容易知道，如果pat[k] == pat[j]，使得pat[0]~pat[k] == pat[j-k]~pat[j]的话，

那么next[j+1] = next[j]+1

那要是不等于呢？即pat[k] != pat[j]

通过学习，我们知道，要比较pat[next[k]]和pat[j]，如果pat[next[k]] == pat[j]，则next[j+1] = next[k] + 1

问题就是，为什么是比较pat[next[k]]和pat[j] ，为什么是next[k]??????

看上图，黄色标记处pat[k(5)] = B和pat[j(11)] = G匹配失败，而next[k] = 2，pat[next[k]] = pat[2] = G，最长前缀长度变成了3，即A B G，是可以匹配的最长前缀(pat[0~2] == pat[9~j])

事实上，我们可以证明这一事实的正确性

因为匹配失败，那么我们要寻找的最长前缀肯定是一个比A B G A B(0~k-1)更短的前缀

而且这个更短的前缀，一定是包含在A B G A B（0~k-1）里（因为必须从第一个字符开始，且长度更短）

仔细思考，我们得出这样一个结论：

我们假设这个最长前缀存在（pat[j+1]前的最长匹配前缀），设为str

则str - pat[j] 的长度一定等于next[k]

看下图

该图中str = ABG， pat[j] = G

（一定要注意观察和思考下面的三个红色A B）

01234k678910 j j+1ABGABBABGABGH-100012012345?

                   next[k] = 2

我们先不管pat[j]，先寻找pat[j]前长度稍短于k的前缀（实际上这个稍短前缀的长度就是next[k]），然后再加上pat[j]得到新前缀，得到next[j+1] = next[k]+1。上例中这个稍短前缀就是AB，pat[j] = G。

为什么稍短前缀的长度就是next[k]？

因为pat[0] ~ pat[k-1]和pat[j-k]~pat[j-1]都是一样的（已经匹配过）

那么str - pat[j]必然和pat[k]前的子串一模一样（而且这两个串都一定等于一个前缀，在上例中就是AB）

由于我们要使得str - pat[j]最长，那这个最长的长度一定就是next[k]

最后，我们再判断是否pat[next[k]] = pat[j]，如果等于，则得到next[j+1] = next[k] + 1 (AB + G)

否则，再继续递归寻找，下一步判断pat[next[next]]。。。。道理同上