[翻译]扫描线算法(Line Sweep Algorithm)（2）

NOIPD110分滚粗。
心累。
学点有趣的治愈一下。
突然想起似乎之前还有个坑没有填，就练一波英语阅读。

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矩形面积交

给出一个集合包含N个与坐标轴对称的矩形（矩形的边与x轴、y轴平行），找到所有的矩形的重叠部分。其中一个矩形由两个点代表，一个是左下角的点，一个是右上角的点。
这个问题的事件，是垂直的边。当我们遇到一条左边，我们进行一些操作；遇到一条右边，进行另一些操作。左边由左下角来代表，右边由右上角代表。
我们以对x坐标的排序来开始整个算法。当一个长方形左下角的点被遇到（也就是说我们遇到了长方形的左边），我们将之插入到集合中。当我们遇到了右上角的点（也就是遇到了长方形的右边），我们将长方形从集合中清除出去。在任何情况，集合中只存在被扫描线扫到的矩形（即已遇到左边但未遇到右边）。
扫到的面积是Δy*Δx，其中Δy是扫描线被矩形切割的长度（下图中的红色部分），Δx为两个扫描线事件之间的距离。
但是现在我们只知道哪些是被扫描线被切割的矩形。因此，这里我们有一个新的问题：如何找到被切割的最大长度？
其做法与我们刚才（参见上一篇）做的类似。我们仍然用扫描线技术，不过这条线现在要旋转90°，换言之，我们从下到上去扫描被扫到的矩形。我们用一个变量cnt维护当前重叠的矩形数量。当我们遇到一条底边就让cnt+1，遇到一条上边就让cnt-1，当cnt从非0变为0时我们就找到了扫描线被切割的长度。
下面来看看它是如何运行的。

上面的图像向我们展示了水平扫描线的运行过程， Δy 就是最后一张图片展示的两个箭头长度之和。
这就是我们的算法，接下来考虑枚举的部分。对于每一个扫描线的事件，我们需要找到扫描线切出的长度，也就是推进水平扫描线长度。这里以bool数组作为数据结构，因为我们可以分别以横、纵来做一次排序。
下面是cpp代码：

#define MAX 1000struct event {    int ind; // 众多矩形中该矩形的索引    bool type; // 事件类型，0表示左下，1表示右上    event() {};    event(int ind, int type) : ind(ind), type(type) {};};struct point {    int x, y;};point rects [MAX][12]; // 每个矩形包含两个顶点: [0]=左下;[1]=右上bool compare_x(event a, event b) {     return rects[a.ind][a.type].x<rects[b.ind][b.type].x; }bool compare_y(event a, event b) {     return rects[a.ind][a.type].y<rects[b.ind][b.type].y; }int union_area(event events_v[],event events_h[],int n,int e){       //n是矩形数量, e=2*n , e是顶点数量(在矩形集合中每个矩形以两个点被申明)        bool in_set[MAX]={0};        int area=0;        sort(events_v, events_v+e, compare_x);  //竖直边的预处理        sort(events_h, events_h+e, compare_y); // 水平边的预处理        in_set[events_v[0].ind] = 1;        for (int i=1;i<e;++i)         { // 水平扫描线                event c = events_v[i];                int cnt = 0; // 表明有多少矩形重叠的计数器                // Delta_x: 当前线与之前线的距离                int delta_x = rects[c.ind][c.type].x - rects[events_v[i-1].ind][events_v[i-1].type].x;                int begin_y;                if (delta_x==0){                        in_set[c.ind] = (c.type==0);                        continue;                }                for (int j=0;j<e;++j)                        if (in_set[events_h[j].ind]==1)                 //当前矩形的水平扫描线                        {                                if (events_h[j].type==0)                //是底边                                {                                        if (cnt==0) begin_y = rects[events_h[j].ind][0].y; // 某一块开始                                        ++cnt;                          //重叠矩形增加量                                }                                else    //是上面的线                                {                                        --cnt;                          //矩形已经不被重叠，所以移除之                                        if (cnt==0)                     //一块的结束                                        {                                                int delta_y = (rects[events_h[j].ind][13].y-begin_y);//竖直扫描线被切割的长度                                                area+=delta_x * delta_y;                                        }                                }                        }                in_set[c.ind] = (c.type==0);//如果是左边, 矩形在当前集合中，否则不在        }    return area;}

复杂度显然是O(n^2)。如果用其它数据结构(如BST)维护，可以降到O(nlogn)
现在，你已经多少了解这项技术了，不是吗？（并不）
让我们去下一个可以用这项技术解决的问题吧。（没错，就是凸包）