题目10：skiing

描述
Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子
1 2 3 4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-…-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。
输入
第一行表示有几组测试数据，输入的第二行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。
后面是下一组数据；
输出
输出最长区域的长度。
样例输入
1
5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
样例输出
25

初次看这个题目的时候，想过使用构造图来求最长路径，后来仔细想想这个是个动态规划的问题。动态规划就是要将大问题转化成子问题来解决，而动态规划的最关键的是要找到递推公式，也就是如何来利用子问题来解决大问题。下面就是这个题目的算法思想。
算法思想
使用动态规划，划分成子问题。首先考虑要求i行j列的最长路径时，可以利用i - 1行 j列、i + 1行 j列、i 行 j - 1列、i 行 j + 1列的最大值来计算。
递推关系式为：

if (a[i][j] > a[i - 1][j])            d[i][j] = d[i][j] > (dp(i - 1, j) + 1) ? d[i][j] : (dp(i - 1, j) + 1);        if (a[i][j] > a[i + 1][j])            d[i][j] = d[i][j] > (dp(i + 1, j) + 1) ? d[i][j] : (dp(i + 1, j) + 1);        if (a[i][j] > a[i][j - 1])            d[i][j] = d[i][j] > (dp(i, j - 1) + 1) ? d[i][j] : (dp(i, j - 1) + 1);        if (a[i][j] > a[i][j + 1])            d[i][j] = d[i][j] > (dp(i, j + 1) + 1) ? d[i][j] : (dp(i, j + 1) + 1);

源代码：

#include <iostream>  #include <cstring>  using namespace std;int dp(int, int);int a[110][110];int d[110][110];int r;int c;int main(){    int T;    cin >> T;    while (T--)    {        cin >> r >> c;        for (int i = 0; i <= r + 1; i++)            a[i][0] = a[i][r + 1] = 11111;        for (int j = 0; j <= c + 1; j++)            a[0][j] = a[c + 1][j] = 11111;        for (int i = 1; i <= r; i++)            for (int j = 1; j <= c; j++)                cin >> a[i][j];        int max_len = 0;        memset(d, 0, sizeof(d));        for (int i = 1; i <= r; i++)            for (int j = 1; j <= c; j++)                max_len = max_len > dp(i, j) ? max_len : dp(i, j);        cout << max_len << endl;    }}int dp(int i, int j){    if (d[i][j] > 0)        return d[i][j];    d[i][j] = 1;    if (i >= 1 && i <= r && j >= 1 && j <= c)    {        if (a[i][j] > a[i - 1][j])            d[i][j] = d[i][j] > (dp(i - 1, j) + 1) ? d[i][j] : (dp(i - 1, j) + 1);        if (a[i][j] > a[i + 1][j])            d[i][j] = d[i][j] > (dp(i + 1, j) + 1) ? d[i][j] : (dp(i + 1, j) + 1);        if (a[i][j] > a[i][j - 1])            d[i][j] = d[i][j] > (dp(i, j - 1) + 1) ? d[i][j] : (dp(i, j - 1) + 1);        if (a[i][j] > a[i][j + 1])            d[i][j] = d[i][j] > (dp(i, j + 1) + 1) ? d[i][j] : (dp(i, j + 1) + 1);        return d[i][j];    }    else        return 0;}

算法复杂度：时间复杂度为O（n）。
最优代码：

#include<cstdio>  #include<string>#include<iostream>using namespace std;int opt[102][102];  int map[102][102];  int dir[4][2] = {-1,0,1,0,0,-1,0,1};  int r,c;  int w(int a,int b)  {      int i;      if(a<1||b<1||a>r||b>c) return 0;           if(opt[a][b] != 0) return opt[a][b];      else     {      for(i=0;i<4;i++)      if( map[a+dir[i][1]][b+dir[i][0]] < map[a][b]&&         w(a+dir[i][1],b+dir[i][0]) > opt[a][b] )          opt[a][b] = w(a+dir[i][1],b+dir[i][0]);               return ++opt[a][b];  }  }   int main(void)  {  int max,i,j; int n;scanf("%d",&n);while(n--)  {      scanf("%d%d",&r,&c);    for( i = 1 ; i <= r ; i++ )          for( j = 1 ; j <= c ; j++ )              scanf("%d",&map[i][j]);                for(int i=0;i<102;i++)        for(int j=0;j<102;j++)            opt[i][j]=0;    max = 0;      for( i = 1 ; i <= r ; i++ )          for( j = 1 ; j <= c ; j++ )              if(w(i,j) > max) max = w(i,j)                                printf("%d\n",max);  }    return 0;  }