2017理数全国卷I T21

题目

　　已知函数f(x)=a2x+(a−2)ex−x
　　(1)　讨论f(x)的单调性
　　(2)　若f(x)有两个零点，求a的取值范围

第一问

　　f(x)=a2x+(a−2)ex−x
　　f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1
　　令t=ex(t>0), g(t)=2at2+(a−2)t−1=(at−1)(2t+1)
　　零点是t1=1a,t2=−12(舍去)
　　(i)若a≤0，则当t>0时，f′(x)<0恒成立，即f(x)单调递减
　　(ii)若a>0，
　　当t∈(0,1a)时，g(t)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减；
　　当t∈(1a,+∞)时，f(x)单调递增。

　　没啥难的

第二问

　　由第一问的结论知道，如果a≤0，则函数单调递减，不可能有两个零点。
　　因此a>0
　　注意到函数的定义域是实数集，函数值是先递减后递增的，所以极小值（也就是最小值）肯定要小于0，而且在最小值的左右两侧都要有大于0的函数值存在。
　　上述条件的转化是充要的。
　　最小值也就是当ex=1a，x=−lna时，
　　f(−lna)=1−1a+lna<0
　　这里可以求导也可以不求导，直接看出当a=1时函数值为0，当0<a<1，当a>1时函数值大于零。
　　这样就得到一个范围a∈(0,1)
　　这样是不够的，应该还要确保x=−lna的左右两侧都有函数值为正数的点存在
　　对于左侧，f(−1)=a−2+(a−2)e−1+1>−2e−1+1>0
　　对于右侧，f(x)=a2x+(a−2)ex−x>−2ex−x，答案上比较玄学，得多看几遍才能搞明白它是咋想出来的
　　假如存在x0使得，f(x0)>0，稍微化一下式子，ex0(2aex0+a−2)−x0>0
　　你想让这个思博式子大于零，我反正看不出怎么直接找到x0。
　　然后就想啊，能不能放缩一下放缩成比较好观察的式子
　　如果括号里那一大串大于1，那么ex0−x0>0这个式子就比较美丽。随便令x0等于一个大于1的数带进去都能成立。
　　所以需要找到2aex0+a−2>1成立的条件。
　　显然，x0>ln(−12+1a)就可以，因为ln(−12+1a)是个常数，所以这样的x0一定存在。
　　写过程的话，可以直接令x0>max{−lna,ln(−12+1a)}，然后进行上面的那一串推导就行了。
　　因此答案是a∈(0,1)

总结

　　第二问的最后那个地方比较烧脑，前面的应该都比较自然而然。