FIRST集、FOLLOW集 和 SELECT集

FIRST集

FIRST(A)为A的开始符或者首符号集。

定义：

设G=(VT，VN，S，P)是上下文无关文法 ，FIRST(α)={a|α能推导出aβ,a∈VT，α,β∈V*} 　　
特别的，若α能推导出ε,则规定ε∈FIRST(α)．

根据定义求解FIRST集（对每一文法符号X∈V 计算FIRST(X)）：

1. 若X∈VT，则FIRST(X)＝{X}。(简单讲，终结符的FIRST集就是它本身)
2. 若X∈VN，且有产生式X→a…，a∈VT， 则 a∈FIRST(X)X→ε,则ε∈FIRST(X)。　（简单讲，若是非终结符X，能推导出以终结符a开头的串，那么这个终结符a属于FIRST（X），若X能够推导出空符号串ε，那么空符号串ε也属于X的FIRST集）
3. X→Y…是一个产生式且Y ∈VN 则把FIRST(Y)中的所有非空符号串ε元素都加入到FIRST(X)中。（这个可以理解吧）
4. 若X∈VN；Y1，Y2，…，Yi∈VN，且有产生式X→Y1 Y2… Yn；当Y1 Y2… Yn-1都能推导出ε时，则FIRST(Y1)、FIRST(Y2)、…、FIRST(Yn-1)的所有非空元素和FIRST(Yn) 包含在FIRST(X)中。即: FIRST(X)=(FIRST(Y1)－{ε} ）∪（FIRST(Y2)－{ε} ）∪…∪（FIRST(Yn-1)－{ε}）∪{FIRST(Yn)}
5. 当(4)中所有Yi 能够推导出ε,(i=1,2,…n)，则 FIRST(X)=(FIRST(Y1)－{ε}）∪（FIRST(Y2)－ {ε}∪…∪（FIRST(Yn) －{ε}）∪{ε}

反复使用上述②～⑤步直到每个符号的FIRST集合不再增大为止。

求解示例

文法G [S]为：
- S→AB
- S→bC
- A→ε
- A→b
- B→ε
- B→aD
- C→AD
- C→b
- D→aS
- D→c

求每个非终结符的First集？

解：对于非终结符S，S的开始符有终结符b和非终结符A，根据上面定义(2)把b加入FIRST(S)，由上面的定义(3)把FIRST(A)中的所有非空符号串ε元素都加入到FIRST(S)中，而且因为S→AB符合上面的定义(4)和(5)，所以FIRST(S)=(FIRST(A)－{ε}）∪（FIRST(B) －{ε}）∪{ε}那么先求FIRST(A)和FIRST(B)，A的开始符有终结符b和空符号串ε，由定义(1)和定义(2)全部加入FIRST(A)，也就是FIRST(A)={ε,b}，同理，FIRST(B)={a,ε},这样FIRST(S)也就求出来了，FIRST(S)={b,a,ε},其实回过头来看之所以要反复调用定义(2)～(5)，是因为开始符中A可能为空字符串ε，所以要考虑A后面的情况。

再求，FIRST(C),由定义(1)，把b加入FIRST(C)，再由定义(4)，FIRST(C)=(FIRST(A)－{ε} ）∪{FIRST(D)}，先求FIRST(D)，易知，FIRST(D)={a,c}，所以FIRST(C)={b,a,c}

小结

1. 对于终结符而言，FIRST集中的元素只有它本身

2. 对于非终结符而言，如果开始符是终结符或者空符号串ε，则加入其FIRST集中；若开始符是非终结符，则要加入它的不含ε的FIRST集，并考虑其为ε时的情况。

FOLLOW集

FOLLOW(A)=｛a|S能推导出μAβ,且a∈VT，a∈FIRST(β),μ∈VT* ,β∈V+｝，若S能推导出μAβ,且β能推导出ε, 则#∈FOLLOW(A)。 也可定义为：FOLLOW(A)={a|S能推导出…Aa…,a ∈VT} ，若有S能推导出…A，则规定#∈FOLLOW(A) ，这里我们用‘#’作为输入串的结束符，或称为句子括号。

如：#输入串#。

FOLLOW(A)为非终结符A的后跟符号集合。

定义

设G=(VT，VN，S，P)是上下文无关文法，A∈VN，S是开始符号 　
需要注意的是，FOLLOW(A)集是针对非终结符A的，集合中的元素是终结符，是A的全部后跟符号的集合，当A是文法G的开始符(识别符)时，把‘#也加入其中’

根据定义求解FOLLOW集（对每一文法符号S∈VN计算FOLLOW(S)）

1. 设S为文法中开始符号，把{#}加入FOLLOW(S)中(这里“#” 为句子括号)。

2. 若A→αBβ是一个产生式，则把FIRST(β)的非空元素加入FOLLOW(B)中。如果β能够推导出ε则把FOLLOW(A)也加入FOLLOW(B)中。

3. 反复使用(b)直到每个非终结符的FOLLOW集不再增大为止。

求解示例

文法G [E]为：
- E → TE’
- E’ → +TE’ | ε
- T → FT’
- T’ → *FT’ | ε
- F → (E) | i

求每个非终结符的FOLLOW集？

解：先给出它们的FIRST集：(求解方法见上面FIRST集的求解)

FIRST(F)={ (,i }FIRST(T’)={ *,ε }FIRST(T) ={ (,i }FIRST(E’)={ +,ε }FIRST(E)={ (,i }

FOLLOW集的求解：

因为E是文法的识别符所以把#加入FOLLOW(E)，又由规则F → (E) | i得E的后跟符号)，所以，FOLLOW(E)=｛ #，) ｝;

FOLLOW(E’)={ #,) } ∵E → TE’ ∴FOLLOW(E)加入 FOLLOW(E’)

FOLLOW(T)={+,),#} ∵E’→ +TE’ ∴FIRST(E’)-{ε}加入FOLLOW(T); 又E’→ε，∴ FOLLOW(E’)加入FOLLOW(T)

FOLLOW(T’)= FOLLOW(T)= {+,),#} ∵T → FT’ ∴ FOLLOW(T)加入FOLLOW(T’)

FOLLOW(F)={*,+,),#} ∵T → FT’ ∴ FOLLOW(F)=FIRST（T’）-{ε} ; 又T’→ε ∴ FOLLOW(T)加入FOLLOW(F)

小结

FOLLOW集对于非终结符而言，是非终结符的全部后跟符号的集合，如果后跟终结符则加入，如果后跟非终结符，则加入该非终结符的不含空符号串的FIRST集，特别地，文法的识别符的FOLLOW集需要额外的加入‘#’。

SELECT集

定义

给定上下文无关文法的产生式A→α, A∈VN,α∈V*, 若α不能推导出ε,则SELECT(A→α)=FIRST(α) 　　

如果α能推导出ε则：SELECT(A→α)=（FIRST(α) –{ε}）∪FOLLOW(A)

需要注意的是，SELECT集是针对产生式而言的。

LL(1)文法

1. 一个上下文无关文法是LL(1)文法的充分必要条件是：对每个非终结符A的两个不同产生式，A→α, A→β,满足SELECT(A→α)∩SELECT(A→β)=空集 其中α，β不同时能推导出ε。
2. LL(1)文法的含义：
   
   • 第一个L 从左到右扫描输入串
   • 第二个L 生成的是最左推导
   • 1 向右看一个输入符号便可决定选择哪个产生式。
3. LL(1)文法的判别：当我们需选用自顶向下分析技术时，首先必须判别所给文法是否是LL(1)文法。因而我们对任给文法需计算FIRST、FOLLOW、SELECT集合，进而判别文法是否为LL(1)文法。

求解示例

文法G [S]为：
- S→AB
- S→bC
- A→ε
- A→b
- B→ε
- B→aD
- C→AD
- C→b
- D→aS
- D→c

求每个产生式的SELECT集，并判断文法G是否为LL(1)文法？

解：

SELECT(S→AB)=（FIRST(AB)-{ε})∪FOLLOW(S)={b,a,#} 　　SELECT(S→bC)=FIRST(bC)={b} 　　SELECT(A→ε)=(FIRST(ε) -{ε})∪FOLLOW(A)={a,c,#} 　　SELECT(A→b)=FIRST(b)={b} 　　SELECT(B→ε)=(FIRST(ε) -{ε})∪FOLLOW(B)={#} 　　SELECT(B→aD)=FIRST(aD)={a} 　　SELECT(C→AD)=FIRST(AD)={a,b,c} 　　SELECT(C→b)=FIRST(b)={b} 　　SELECT(D→aS)=FIRST(aS)={a} 　　SELECT(D→c)=FIRST(c)={c}

由以上计算结果可得相同左部产生式的SELECT交集为： 　　

SELECT(S→AB)∩SELECT(S→bC)={b,a,#}∩{b}={b}≠фSELECT(A→ε)∩SELECT(A→b)={a,c,#}∩{b}=фSELECT(B→ε)∩SELECT(B→aD)={#}∩{a}=фSELECT(C→AD)∩SELECT(C→b)＝{b,a,c}∩{b}＝{b}≠фSELECT(D→aS)∩SELECT(D→c)={a}∩{c}＝ф

由LL(1)文法定义知该文法不是LL(1)文法，因为具有相同左部其产生式的SELECT集的交集不为空。

小结

Select集的作用是将first集和follow集进行合并，如果两个文法的左端都是A，若他们的select集交集为空，表明他们是两个无关的，不会产生不确定性的文法，反之，则表明文法不是LL(1)文法。

原文链接

FIRST集、FOLLOW集 和 SELECT集