FIRST集和FOLLOW集以及SELECT集

一：什么是终结符和非终结符。

终结符：通俗的说就是不能单独出现在推导式左边的符号，也就是说终结符不能再进行推导。

非终结符：不是终结符的都是非终结符。

如：S——>B，则S是非终结符。

（一般书上终结符用小写，非终结符用大写。）

二：文法产生语言句子的基本思想：从识别符号（开始符）开始，把当前产生的符号串中的非终结符替换为相应规则右部的符号串，直到全部由终结符组成。

三：什么是FIRST集

FIRST集的定义: 如果α是任意的文法符号串,则我们定义FIRST(α)是从α推导出的串的开始符号的终结符集合，即

FIRST(α)={a|α a… ,a是终结符}。如果α ε,则ε也属于FIRST(α)。

四：FIRST集求法

    First集合最终是对产生式右部的字符串而言的，但其关键是求出非终结符的First集合，由于终结符的First集合就是它自己，所以求出非终结符的First集合后，就可很直观地得到每个字符串的First集合。

1. 直接收取：对形如U－>a…的产生式（其中a是终结符），把a收入到First(U)中

2. 反复传送：对形入U－>P…的产生式（其中P是非终结符），应把First(P)中的全部内容传送到First(U)中【意思就是只需要把第一个非终结符的First集传过去~这个地方是要注意的地方，也是难点】。

五：什么是FOLLOW集

设A是一个非终结符,则定义FOLLOW(A)是包含所有在句型中紧跟在A后面的终结符a的集合，即FOLLOW(A)={a|S αAaβ , a是终结符}。注意，在推导的某一时刻，在A和a之间可能有符号，但如果是这样，它们将推导出ε并消失。如果A是某个句型的最右符号，那么#属于FOLLOW(A)。(注: #是输入串的结束符)

六：FOLLOW集的求法

    Follow集合是针对非终结符而言的，Follow(U)所表达的是句型中非终结符U所有可能的后随终结符号的集合，特别地，“#”是识别符号的后随符。注意Follow集合是从开始符号S开始推导。

1. 直接收取：注意产生式右部的每一个形如“…Ua…”的组合，把a直接收入到Follow(U)中。因a是紧跟在U后的终结符。

2．直接收取：对形如“…UP…”(P是非终结符)的组合，把First(P)直接收入到Follow(U)中【在这里，如果First（P）中有空字符，那么就要把左部（假设是S）的Follow（S）送入到Follow（U）中。还有就是Follow集中是没有空字符的】。

3. 直接收取：若S－>…U，即以U结尾，则#∈Follow(U)

4．*反复传送：对形如U－>…P的产生式（其中P是非终结符），应把Follow(U)中的全部内容传送到Follow(P)中。

另外，比较正式的说明如下：

FIRST集的计算:

    首先，为了计算单个文法符号X的FIRST(X)，可以应用下列规则，直到没有终结符或ε可加到某个FIRST集合为止：

    1. 如果X是终结符，则FIRST(X)是 { X }。

    2. 如果X –> ε 是一个产生式，则将ε加到FIRST(X)中。

    3. 如果X是非终结符，且X –> Y₁Y₂…Y_k是一个产生式,其中k≥1。则当某终结符a∈FIRST(Y_i),(1<i≤k)且

        ε∈FIRST(Y₁),ε∈FIRST(Y₂)…,ε∈FIRST(Y_i-1)时，就把a加入到FIRST(X)中去，换句话说就是

        Y₁Y₂…Y_i-1 ε 。如果ε∈FIRST(Y_j) 其中j=1,2,…,k，就把ε也加入FIRST(X)中。

     知道了如何计算单个文法符号的FIRST集，那么我们就可以计算一组文法符号串的FIRST集。假设这一组文法符号串由X₁X₂…X_n构成。首先将集合FIRST(X₁)中的除ε的终结符号加入FIRST(X₁X₂…X_n).依次，如果

ε∈FIRST(X₁)，那么将集合FIRST(X₂)中除ε的终结符号也加入FIRST(X₁X₂…X_n),依次类推。最后，如果X₁,X₂,…X_n中每一个文法符号的FIRST集当中都有ε,那么把ε也加入到FIRST(X₁X₂…X_n)中。

FOLLOW集的计算:

     为了计算文法中每一个非终结符X的FOLLOW(X)，应用如下的三条规则，直到没有任何一个终结符能被添加到任何非终结符的FOLLOW集当中为止。

    1. 如果S是文法的开始符号,那么把$添加进FOLLOW(S)中。($是输入串的结束符)

    2. 如果有一个产生式A->αBβ，那么将集合FIRST(β)中除ε外的所有元素加入到FOLLOW(B)当中。

    3. 如果有一个产生式 A->αB , 或者A->αBβ且FIRST(β)中包含ε , 那么将集合FOLLOW(A)中的所有元素

       加入到集合FOLLOW(B)中。

另一种描述：

计算FIRST集

对每一文法符号X∈V , 计算FIRST(X)
(a) 若X∈VT，则FIRST(X)＝{X}
(b) 若X∈VN，且有产生式 X→ a… ,  a∈VT ,则 a∈FIRST(X)  即把a加入到FIRSR(X)中
(c) 若X∈VN，且有产生式 X→ε,则ε∈FIRST(X)

(d) 若X∈VN, 且有产生式X→Y1 Y2 …Yi-1 Yi … Yn,当Y1 Y2 … Yi-1都能推出ε时，
则 FIRST(Y1)－{ε}
FIRST(Y2)－{ε}
… 
FIRST(Yi-1)－{ε} 
FIRST(Yi)
都包含在FIRST(X)中。

(e) 当(d)中X→Y1 Y2 … Yn  所有Yj 都可以推出ε,(j=1,2,…n) ,
  则 FIRST(Y1)
FIRST(Y2)
… 
FIRST(Yn)
都包含在FIRST(X)中
反复使用上述(b)～(e)步直到每个符号的FIRST集合不再增大为止。 

求一个符号串α的FIRST集合 

若符号串α∈V*，α=X1 X2 … Xi-1 Xi … Xn, 
1.若X1不能推导出ε, 则 FIRST(α)= FIRST(X1) 
2.若对任何j (1≤j≤i-1, 2≤i≤n)  ε∈FIRST(Xj)

3.若对任何j (1≤j≤n)  ε∈FIRST(Xj),

七：例子

有如下文法， 
S->AaBb|BbBa

A->ε

B->ε
我们求FIRST集。 
FIRST(S) = FIRST(AaBb) ∪ FIRST(BbBa)

我们看到

FIRST(A) = ε

FIRST(B) = ε

于是，根据我们的规则，要向下看， 
FIRST(a) = a

FIRST(b)= b

 
没有ε 于是结束，并且在FIRST(AaBb)中不加入ε。 
那么我们的结果就是，FIRST(S) = FIRST(AaBb) ∪ FIRST(BbBa) = {A,B}

例：判断该文法是不是LL(1)文法，说明理由 

S→ABc 

A→a|ε 

B→b|ε

    First集合求法就是：能由非终结符号推出的所有的开头符号或可能的ε，但要求这个开头符号是终结符号。如此题A可以推导出a和ε，所以FIRST（A）=｛a，ε｝；同理FIRST（B）={b,ε};S可以推导出aBc，还可以推导出bc，还可以推导出c，所以FIRST(S）=｛a，b，c｝。   
    Follow集合的求法是：紧跟随其后面的终结符号或＃。但文法的识别符号包含＃，在求的时候还要考虑到ε。具体做法是把所有包含你要求的符号的产生式都找出来，再看哪个有用。 Follow（S）=｛＃｝ 如求A的，产生式：S→ABc A→a|ε ，但只有S→ABc 有用。跟随在A后年的终结符号是FIRST（B）=｛b，ε｝，当FIRST（B）的元素为ε时，跟随在A后的符号就是c，所以 Follow（A）=｛b，c｝ 同理Follow（B）=｛c｝。

补充: SELECT集  选择集合 

给定上下文无关文法的产生式A→α, A∈VN, α∈V*, 
若α不能 ε，                            
SELECT(A→α) = FIRST(α)
若α ε，
SELECT(A→α) = (FIRST(α)－{ε})∪ FOLLOW(A)