剑指offer（八）跳台阶

• 题目
  
  • 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
• 案例

台阶 跳法 1 1 2 2 3 3 4 5 5 8

等等，以此类推

• 分析

  • 我想出来的方法是，利用组合来获取最终结果
  • 即如果是全部一级一级跳，有一种方法；然后一个2级，其他都是一级跳，有n种方法；
  • 以此类推，就是组合的计算，m个2级，则是在 (n - 2 * m + m) = (n - m)中选出m个
  • 然后将所有的和累加就好了。
  • 不过网上看到了更好的方法，在后面会说明。

• 解题代码

    /**     * 剑指offer ：跳台阶     * @param target     * @return     */    public static int JumpFloor(int target) {        int m = 0;        int sum = 0;        while(target >= 0){            sum += combination(m, target + m);            m++;            target = target - 2;        }        return sum;    }    private static long factorial(int m, int n)    {        long sum = 1;        while(m > 0 && n > 0){            sum = sum * n--;            m--;        }        return sum;    }    //组合    private static int combination(int m, int n)    {        if( m > n )            return 0;        if( m > n/2 )        {            m = n - m;        }        return (int) (factorial(m, n)/factorial(m, m));    }

1、开始的时候，我看最终结果是int类型，所以就把所有的long类型改成int，前面结果还正常
2、但是到29的时候就开始出错，debug之后发现，原来到某个数之后，int的值就会溢出，根据int的移位计算特性，就会变成负数，然后重新开始计算
3、之前排列组合一直用long类型，改成int就会造成这种错误，无奈之下，把计算结果用long类型存储，然后最终结果强制转为int返回，测试就通过了

• 优化
  
  • 自己的方法通过了，就要看看有没有其他人的思路更简单，可以优化一下算法，不看不知道，一看吓一跳，自己的思路还是有很大限制
  • 根据上面的部分案例陈列，有心的人可以发现结果是有规律的，就是斐波那契数列
• 思路一
  
  • 本题前提只有 一次 1阶或者2阶的跳法。
  • a.如果两种跳法，1阶或者2阶，那么假定第一次跳的是一阶，那么剩下的是n-1个台阶，跳法是f(n-1);
  • b.假定第一次跳的是2阶，那么剩下的是n-2个台阶，跳法是f(n-2)
  • c.由a\b假设可以得出总跳法为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)
  • d.然后通过实际的情况可以得出：只有一阶的时候 f(1) = 1 ,只有两阶的时候可以有 f(2) = 2
  • e.可以发现最终得出的是一个斐波那契数列：

       | 1, (n=1)f(n) = | 2, (n=2)       | f(n-1)+f(n-2) ,(n>2,n为整数)

• 思路二

  • 如果上述思路理解有点困难的话，那这种思路应该更容易接受
  • f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 5， 可以总结出f(n) = f(n-1) + f(n-2)的规律
  • 1、假设现在n个台阶，我们可以从第n - 1跳一步到n
  • 2、这样的话有多少种方案跳到n - 1就有多少种方案跳到n
  • 3、另外也可以从n - 2跳两步跳到n，跳到n - 2有多少种方案，就有多少种方案跳到n
  • 4、其他的不能从n - 3跳到n
  • 5、所以最后就是f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
  • 6、这样对于理解变态跳台阶的问题也有点思路。

• 解题代码

    /**     * 剑指offer ：跳台阶     * @param target     * @return     */    public int JumpFloorSec(int target) {        if( target <= 0 ) return 0;        if( target == 1 ) return 1;        if( target == 2 ) return 2;        int a = 1;        int b = 2;        int sum = 0;        for( int i = 3; i <= target; i++ )        {            sum = a + b;            a = b;            b = sum;        }        return sum;    }

• 总结
  
  • 办法很多，但是要不断优化接近进而达到最优解
  • 看待复杂问题要分解，就如之前重建二叉树一样，不断分解细化，最终将会变得很简单
  • 要养成算法思维，分解问题，找规律，归纳问题