HDU 4370 0 or 1（最短路）by Kuangbin

原文链接：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/17/2644557.html

0 or 1

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 692 Accepted Submission(s): 185

Problem Description

Given a n*n matrix Cij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix Xij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.
Besides,Xij meets the following conditions:
1. X12+X13+…X1n=1
2. X1n+X2n+…Xn-1n=1
3. for each i (1<i<n), satisfies ∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).
For example, if n=4,we can get the following equality:
X12+X13+X14=1
X14+X24+X34=1
X12+X22+X32+X42=X21+X22+X23+X24
X13+X23+X33+X43=X31+X32+X33+X34
Now ,we want to know the minimum of ∑Cij*Xij(1<=i,j<=n) you can get.

Hint

For sample, X12=X24=1,all other Xij is 0.

Input

The input consists of multiple test cases (less than 35 case).
For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).
The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is Cij(0<=Cij<=100000).

Output

For each case, output the minimum of ∑Cij*Xij you can get.

Sample Input

4 1 2 4 10 2 0 1 1 2 2 0 5 6 3 1 2

Sample Output

3

Author

Snow_storm

Source

2012 Multi-University Training Contest 8

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zhuyuanchen520

1001 (已更新)

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1. X12+X13+…X1n=1 于是1号节点的出度为1

2. .X1n+X2n+…Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3. ∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

/*HDU 4370 0 or 1转换思维的题啊，由一道让人不知如何下手的题，转换为了最短路基本思路就是把矩阵看做一个图，图中有n个点，1号点出度为1，n号点入度为1，其它点出度和入度相等，路径长度都是非负数，等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。漏了如下的情况B：从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。也就是1和n点的出度和入度都为1，其它点的出度和入度为0.由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）故最终答案为min(path,c1+c2)*//*本程序用SPFA来完成最短路。但是由于要计算从出发点出发的闭环的路径长度。所以要在普通SPFA的基础上做点变化。就是把dist[start]设为INF。同时一开始并不是让出发点入队，而是让出发点能够到达的点入队。*/#include<stdio.h>#include<iostream>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;const int MAXN=330;int cost[MAXN][MAXN];//保存路径长度的邻接矩阵int dist[MAXN];int que[MAXN];//注意队列的循环利用，建成循环队列bool vis[MAXN];//是否在队列中标记void SPFA(int start,int n){    int front=0,rear=0;    for(int v=1;v<=n;v++)//初始化    {        if(v==start)//由于要找start的闭环，所以dist[start]设为INF，且不入队        {            dist[v]=INF;            vis[v]=false;        }        else if(cost[start][v]!=INF)        {            dist[v]=cost[start][v];            que[rear++]=v;            vis[v]=true;        }        else//即dist[start][v]==INF情况，对本题没有这种情况        {            dist[v]=INF;            vis[v]=false;        }    }    while(front!=rear)//注意这个条件是不等，因为是循环队列    {        int u=que[front++];        for(int v=1;v<=n;v++)        {            if(dist[v]>dist[u]+cost[u][v])            {                dist[v]=dist[u]+cost[u][v];                if(!vis[v])//不在队列                {                    vis[v]=true;                    que[rear++]=v;                    if(rear>=MAXN) rear=0;//循环队列                }            }        }        vis[u]=false;        if(front>=MAXN)front=0;    }}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i=1;i<=n;i++)          for(int j=1;j<=n;j++)            scanf("%d",&cost[i][j]);        SPFA(1,n);        int ans=dist[n];//1到n的最短路        int loop1=dist[1];//1的闭环长度        SPFA(n,n);        int loopn=dist[n];//n的闭环长度        ans=min(ans,loop1+loopn);        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

下面是用堆栈实现的SPFA

/*用堆栈实现SPFA，有时候比队列快*/#include<stdio.h>#include<iostream>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN=330;const int INF=0x3f3f3f3f;int cost[MAXN][MAXN];int dist[MAXN];int Q[MAXN];bool vis[MAXN];void SPFA(int start,int n){//堆栈实现，有时候比队列快    int top=0;    for(int v=1;v<=n;v++)    {        if(v==start)        {            dist[v]=INF;            vis[v]=false;        }        else        {            dist[v]=cost[start][v];            vis[v]=true;            Q[top++]=v;        }    }    while(top!=0)    {        int u=Q[--top];        for(int v=1;v<=n;v++)        {            if(dist[v]>dist[u]+cost[u][v])            {                dist[v]=dist[u]+cost[u][v];                if(!vis[v])                {                    vis[v]=true;                    Q[top++]=v;                }            }        }        vis[u]=false;    }}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i=1;i<=n;i++)          for(int j=1;j<=n;j++)            scanf("%d",&cost[i][j]);        SPFA(1,n);        int ans=dist[n];//1到n的最短路        int loop1=dist[1];//1的闭环长度        SPFA(n,n);        int loopn=dist[n];//n的闭环长度        ans=min(ans,loop1+loopn);        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}