HDU-4370 0 or 1（最短路[Dijkstra]）

0 or 1

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Problem Description

Given a n*n matrix C_ij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix X_ij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.

Besides,X_ij meets the following conditions:

1.X₁₂+X₁₃+...X_1n=1
2.X_1n+X_2n+...X_n-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n).

For example, if n=4,we can get the following equality:

X₁₂+X₁₃+X₁₄=1
X₁₄+X₂₄+X₃₄=1
X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂=X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄
X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃=X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄

Now ,we want to know the minimum of ∑C_ij*X_ij(1<=i,j<=n) you can get.

Hint

For sample, X₁₂=X₂₄=1,all other X_ij is 0.

 

Input

The input consists of multiple test cases (less than 35 case).
For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).
The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is C_ij(0<=C_ij<=100000).

 

Output

For each case, output the minimum of ∑C_ij*X_ij you can get.

 

Sample Input

41 2 4 102 0 1 12 2 0 56 3 1 2

 

Sample Output

3

尽管放在最短路专题中，但还是想不到怎么用最短路做，果真是我太渣了么

下面是官方题解：

显然，题目给的是一个0/1规划模型。


解题的关键在于如何看出这个模型的本质。


3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：


1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1


2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1


3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度


于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。


最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。


以上情况设为A


非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）


漏了如下的情况B：


从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。


容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。


由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。


因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）


故最终答案为min(path,c1+c2)

看到有大神说：加条边就只用做一次最短路，但不明白怎么加边，望大神指点

#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#include <algorithm>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;const int MAXN=305;int n,s,dis[MAXN],w[MAXN][MAXN];bool vis[MAXN];priority_queue <pair<int,int> > q;//优先队列以pair<... , ...>为元素，是以first为关键字判别，first最大的最先出队void Dijkstra(int& cir) {    int j,u,tmp;    dis[s]=0;    q.push(make_pair(0,s));//make_pair(...);  无需写出类型，就可以生成一个pair对象    while(!q.empty()) {        u=q.top().second;        q.pop();        if(!vis[u]) {            vis[u]=true;            cir=min(cir,dis[u]+w[u][s]);            for(j=1;j<=n;++j)                if((tmp=dis[u]+w[u][j])<dis[j])                    q.push(pair<int,int>(-(dis[j]=tmp),j));//pair<int,int>(...);  生成一个pair<int,int>对象（将第一个值变为负值，则会优先将first绝对值更小的出队）        }    }}int main() {    int i,j,cir1,cirn;    while(1==scanf("%d",&n)) {        for(i=1;i<=n;++i) {            for(j=1;j<=n;++j)                scanf("%d",&w[i][j]);            w[i][i]=INF;//顶点i到顶点i的距离为INF，防止产生自环        }        memset(vis,false,sizeof(vis));        memset(dis,0x3f,sizeof(dis));        cir1=cirn=INF;        s=n;        Dijkstra(cirn);        memset(vis,false,sizeof(vis));        memset(dis,0x3f,sizeof(dis));        s=1;        Dijkstra(cir1);        printf("%d\n",min(dis[n],cir1+cirn));    }    return 0;}