堆排序

堆排序在排序算法中算是比较晦涩难懂的一种，和快速排序、归并排序一样，平均时间复杂度为O(nlogn) ，要了解堆排序，必须点亮前置技能点—二叉堆&二叉树。

二叉堆

定义：

• 一种经过排序的完全二叉树

性质：

• 任意父节点的值都大于等于或小于等于子节点的值
• 每个节点的左右子堆也都是二叉堆

种类：

• 最大堆
  也称大顶堆，即每个父节点的值都大于等于子节点的值，适用于从小到大排序.
  
• 最小堆
  也称小顶堆，即每个父节点的值都小于等于子节点的值，适用于从大到小排序.
  

存储方式：

• 一般存储在一个一维数组之中，利用数组下标来进行父子节点的判断，例如：下标为1的两个儿子节点的下标分别为3和4，那么可得出下标为 i 的节点的两个儿子节点分别为 i∗2+1和 i∗2+2

排序

在进行排序之前，我们先梳理一下思路，想一下我们可能会遇到的问题？

• 添加一个数到堆如何更新？
• 删除一个数后堆如何更新？
• 初始化序列必然为无序的序列，怎么将其调整为一个二叉堆？
• 调整为二叉堆后，怎么有序的进行取数？
• 取完数之后的堆是否不变？怎么变？如何解决？

注意：以下问题解决解析皆以最小堆为例.

问题解决

添加一个数到堆

此操作在一个长度不会变化的数组中几乎不会使用，但是在处理长度动态变化，有可能添加新元素的数组时，此操作可能会用到.

思想步骤：

• 将新数添加到数组的末尾
  直接将新数插入末尾，此时可以发现，一条从根节点到新节点的路径出来了，而且这条路径的节点值还是递增的，我们要将新节点插入到这条路径上去，这样问题就转换成了插入排序的问题，如果有对插入排序有不理解的可以看一下这篇排序总结:常见的排序方法
• 根据插入排序的思想，很容易写出添加节点的代码，只是插入排序的时候每次下标是前进1，而在这里每次下标取当前节点的父节点，也就是 (i−1)/2

//  新加入结点，下标为ivoid insertHeapFix(int num[], int i) {    int j, temp;    temp = num[i];    j = (i - 1) / 2;//父结点    while (j >= 0 && i != 0) {        if (num[j] <= temp){            break;        }        num[i] = num[j];//插入排序思想，把较大的子结点往下移动,替换它的子结点        i = j;        j = (i - 1) / 2;    }    num[i] = temp;}void insertNumToHeap(int num[], int a, n){    //新节点置为最后    num[n] = a;    //调整堆    insertHeapFix(num, n);}

删除一个数

因为二叉堆是存储在数组中的，所以说删除操作比较麻烦，而且根据定义，二叉堆每次只能删除根节点.

思想步骤：

• 当删除根节点之后，后面节点必然后前移，所以说我们可以暂时将最后一个节点值和根节点交换，然后缩短数组长度，即可实现删除根节点，但是此时二叉堆需要更新
• 首先检查原根节点的左右儿子，如果 min(左儿子,右儿子) 大于等于当前根节点，那么停止更新，二叉堆正确，如果小于当前根节点，那么交换 min(左儿子,右儿子) 和当前根节点，然后继续进行检查，直到找到替换前的根节点所应该处的正确位置.

void heapFix(int num[], int id, int top) {    int temp = num[id];    int i = id;//当前遍历节点，从根节点开始    int j = i * 2 + 1;//子节点    while(j < top) {        //寻找左右子节点的最小值        if(j + 1 < top && num[j + 1] < num[j]) {            j++;        }        //找到了合适位置        if(num[j] >= temp) {            break;        }        //更新指针        num[i] = num[j];        i = j;        j = i * 2 + 1;    }    num[i] = temp;}void deleteNum(int num[], int n){    //将原根节点置于最后    swap(num[0], num[n - 1]);    heapFix(num, 0, n - 1);}

初始化序列必然为无序的序列，怎么将其调整为一个二叉堆？

这个过程也就是常说的建堆过程，这里有两种方案:

• 方案一：将数一个一个的加入
  初始化为一个空堆，然后一个一个加入到堆中

• 方案二：将数的后面一半初始化为一个队堆，然后将另一半加入堆并调整
  因为堆构建到最后我们是构建出来了一个完全二叉树，所以说对所有的非叶子节点进行筛选，所以只需要加入一半然后调整即可

for(int i  = n / 2 - 1; i >= 0; i--){    heapFix(i, n);}

怎么有序的进行取数？

因为根节点的值永远是当前堆最小的，所以说每次我们将根节点存储并从堆中删除，然后重新调整堆，直到堆中只剩下一个节点，即 num[0]，即：

for(int i = n - 1; i >= 1; i--) {    swap(num[i], num[0]);    heapFix(num, 0, i);}

堆排序应用

求出 100w 的数据量数中最小的10个数

分析：这道题目在很多面试题中都有出现，虽然可能不是如此直接，但是思想都一样。这个时候，我们的关键点不在于 100w ，而在于那个 10，因为只需要找到 10 个数，所以说，我们维护一个大小为10的最大堆即可，堆顶元素为当前 10 个数中最大的数，如果新进来的数比堆顶元素小，那么删除堆顶元素，添加新元素.

for(int i = 5; i < n; i++) {    //新来的数较小    if(num[i] < num[0]) {        //直接和根节点进行交换即可，因为后面的数我们都不需要维护.        swap(num[i], num[0]);        //调整堆        heapFix(0, 5);    }}