C++ 图论-最短路径问题

最短路径问题

1 Floyed

穷举所有中间点k，如果i到j到距离大于i到k的距离 + k到j的距离，则刷新

if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])

   a[i][j] = a[i][k] + a[k][j];

#include <iostream>using namespace std;const int MAX = 99999999;int n, m;int a[1001][1001];void floyd() {for(int k=1; k<=n; k++) { //必须k放外循环for(int i=1; i<=n; i++) {for(int j=1; j<=n; j++) {if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])a[i][j] = a[i][k] + a[k][j];}}}for(int i=1; i<=n; i++) {for(int j=1; j<=n; j++) {cout << i << " -> " << j << " : " << a[i][j]  << endl;}cout << endl;}}void read() {int x, y, w;cin >> n >> m;for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = MAX;for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i] = 0;for(int i=1; i<=m; i++) {cin >> x >> y >> w;a[x][y] = w;}}int main() {read();floyd();return 0;}

2 Dijkstra

Dijkstra 单源最短路径（源点到其他点的最短距离）

数组 D[i]表示源点(s)到i的最短距离

有两个集合：

S(求出最短距离的点)、T（未求出最短距离的点）

S初始时为空

1> 初始化：(最短距离=直接距离)

D[1~n] = a[s][i];

（D[s] = 0）

2> j=1~n;找d[j]的最小值，如果不在S中，记下其下标K，把k加入S;

3>用k作为中间点刷新;做2> n-1次，把所有点加到S中

#include <iostream>using namespace std;const int MAX = 999999999;int n, m, s;   //s为源点 int a[1001][1001];int d[1001];           //顶点(起点)x到其他所有点的最短距离bool InS[1001];        //标记点在不在S中void read() {int x, y, w;cin >> n >> m >> s;for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = MAX;for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i] = 0;for(int i=1; i<=m; i++) {cin >> x >> y >> w;a[x][y] = w;}}int Dijkstra(int x) {               //求x到其他点的最短距离int min, k;for(int i=1; i<=n; i++) d[i] = a[x][i];d[x] = 0;InS[x] = true;for(int i=1; i<=n-1; i++) {    //做n-1次 (D[x]已经 = 0) min = MAX;for(int j=1; j<=n; j++) {if(min > d[j] && !InS[j]) {min = d[j];     //mink = j; //min的下标}}InS[k] = true;for(int j=1; j<=n; j++) {if(d[j] > d[k]+a[k][j]) {d[j] = d[k] + a[k][j];}}}for(int i=1; i<=n; i++) cout << d[i] << " "; }int main() {read();Dijkstra(s);return 0;}

3 SPFA(单源最短路径)

SPFA可以处理负权(不能处理负权的环)，利用队列实现

 

同Dijkstra，D[i]表示源点(s)到i的最短距离

 

初始化：

D[1~n] = MAX， D[s] = 0;

1> 把源点入队列，当队列不为空时，循环出队列

2> 顶点K出队列,通过K刷新最短距离

如果D[j]被刷新，判断j是否在队列中，不在则入队列

利用C++ STL<queue>解：

#include <iostream>#include <queue> using namespace std;const int MAX = 999999999; int n, m, s;int a[1001][1001];int d[1001];bool inq[1001];         //判断在不在队列中queue<int> q;void read() {int x, y, w;cin >> n >> m >> s;for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = MAX;for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i] = 0;for(int i=1; i<=m; i++) {cin >> x >> y >> w;a[x][y] = w;}}void SPFA(int x) {                       //求x到其他点的最短距离 int k;for(int i=1; i<=n; i++) d[i] = MAX;d[x] = 0;q.push(x);                          inq[x] = true;                      while(!q.empty()) {k = q.front(); q.pop();inq[k] = false;for(int j=1; j<=n; j++) {if(a[k][j] == MAX) continue;if(d[j] > d[k]+a[k][j]) {d[j] = d[k]+a[k][j];if(!inq[j]) {q.push(j);inq[j] = true;}}} } for(int i=1; i<=n; i++) cout << d[i] << " ";} int main() { read();SPFA(s);return 0;}

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