进制组合问题(独立验证)[三相组合问题]

问题：有四个砝码和是40，并且可以用天平称出任何[1 , 40]内的重量。求这4个数。(***天平问题)

思考：

1.天平称重m的本质:

m = sigma(i 1 4) [ui] * [ai]  strict [ui]属于{ -1 , 1 , 0 } ;

自然想到base进制。

那么关键是 :

[问题2]天平称重问题对于base^0 , base^1 ...  base^mm， 什么样的m可以被称出来。求m的性质。

那么自然想到位数上是 0 ,  1 , m-1 三个数的可以称出来。

现在证明: 位数上只包含0 ,  1 , m-1的可以被称出，尝试证明。

[证明2]

方法1:用集合和映射的思想:（有点问题）

证: 定义映射f : 一个S集合，其中包含一个ai的序列 , 每一个ai 取值 和[ui] 一样 ==> 包含(0 , 1 , m-1)的一个base进制的正整数k。

那么定义域是3^mm个不同集合。

值域也是 3^mm个数。(0 , 1 , m-1)

并且每一个S对应一个k，这个容易证，只需要做减法。(前提是保证了一定大于0)

一一对应也是很简单证明的。所以得证。

方法2:尝试使用数学归纳法。

方法3:尝试构造法直接得出结果。

2.得出结果:

所以4个数是1 , 3 , 9 , 27 . 因为是0 1 2也就是3进制所有数都可以表示出来。得到结果。

唯一性还没有证明。