文章标题

指数型母函数在排列组合上的运用：

置两枚筛子，为了得到和为6的情况有多少种，(2,4)和(4,2)看成是两种。(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况。若将和为6和X^6对应起来，和为6的情况数就是x^6的系数的大小。置一次，为1，2，3，4，5，6的情况分别为一种，所以用多项式就可以表示为x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6.
那么投两次的话就是(x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2。将它展开可以看到x^6的系数为5，和前面的结果一致。

无论是排列还是组合，只需求出对应的系数就可以求解出排列组合数。可能在乘积的过程中系数不一致而已。

下面转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_b617a73b0101brxc.html
母函数对于组合类型数列的研究很有帮助，而指数型母函数可以很方便的拿来研究排列类型的数列。
　　例：考虑n个元素组成的多重集，其中a1重复了n1次，a2重复了n2次……ak重复了nk次，从中取r个排列，求不同的排列数。
　　如果根据母函数。取r个数组合，则组合数是：G(x) = (1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3)。
　　但现在我们要求的是排列数，根据排列和组合的关系，我们可以引入如下公式：
　　　　　　G(x) = (1+x+x^2/2!+x^3/3!)(1+x+x^2/2!)(1+x+x^2/2!+x^3/3!)
　　该公式就是对应的指数型母函数。
　　那么上面例子的指数型母函数就是：
　　　　　　G(x) = (1+x^1/1!+x^2/2!+……+x^n1/(n1)!)(1+x^1/1!+x^2/2!+……+x^n2/(n2)!)……*(1+x^1/1!+x^2/2!+………+x^nk/(nk!))。
　　设有数a0,a1,a2……
　　转换以后就是：G(x) = a0 + a1*(x^1)/1! + a2*(x^2)/ 2! + a3*(x^3)/3! + …… ak*(x^k)/k!+……
　　因为指数型母函数仍是一个形式幂级数，所以关于它们的加法、乘法、除法等运算还是按照形式幂级数的相应运算来做，不必重新定义.
设{an}的指数型母函数是：


下面是指数型母函数的定义：

对于上面的问题“假设有8个元素，其中a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次。从中取r个组合，求其组合数。”：