堆排序及python实现

一、首先，什么是堆？完全二叉树？满二叉树？
堆是一个完全二叉树，什么是完全二叉树呢？完全二叉树的一个特点是,除了最底层之外,每一层都是满的,这使得堆可以利用数组来表示,每一个结点对应数组中的一个元素。完全二叉树和满二叉树的区别又是什么呢？
满二叉树是指这样的一种二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值，即在满二叉树的第k层上有2k-1个结点，且深度为m的满二叉树有2m－1个结点。
全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

对于完全二叉树来说，叶子结点只可能在层次最大的两层上出现：对于任何一个结点，若其右分支下的子孙结点的最大层次为p，则其左分支下的子孙结点的最大层次或为p，或为p+1。


二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足二个特性：
1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。这个是个最大堆

堆的存储
一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

二、二叉堆排序的思想是什么呢？
我们以大顶堆（最大堆）为例子，小顶堆的排序方法类似，思想是一样的。
1.堆排序就是把堆顶的最大数取出,如数组有n + 1个元素，放到数组的最后一个位置，即attr[n],因为数组是从0开始的。

2.将剩余的堆attr[0, n-1]继续调整为最大堆

3.剩余部分调整为最大堆后,再次将堆顶的最大数取出,再将剩余部分调整为最大堆,这个过程持续到剩余数只有一个时结束

那么问题来了，怎么将堆变成最大堆（大顶堆）呢？
对于一个堆来讲，比如：
A = [9, 12, 17, 30, 50, 20, 60, 65, 4, 49]
数组中包含10个数据，那么我们可以通过root = 0， root = 1， root = 2，root = 3， root = 4 就可以将数组中的所有的元素遍历到。即对于一个子堆，它的根是root，那么它的左子树的下标为2*i +1， 右子树的下标是 2*i + 2.

这样我们就把一个普通的堆变成了最大堆（大顶堆）

完整的代码实现为：


def filter_down(attr, start, end):
root = start
while True:
child = 2 * root + 1
if child > end:
break
# if child + 1 <= end and attr[child] < attr[child + 1]:
print 'child is: ******** > ', child
print 'end is: >>>> ',end
if child + 1 < end and attr[child] < attr[child + 1]:
child += 1
if attr[root] < attr[child]:
temp = attr[root]
attr[root] = attr[child]
attr[child] = temp
root = child
else:
break
print 'the one circle is: > ', attr
2
三。怎么让一个随机产生的堆完成堆排序呢？假设数组为a t t r = [a1, a2, a3, …, an, an+1]
1.首先将该堆变成最大堆
2.然后将第0个值，即根节点与最后一个值交换，这样最大值就放在了数组的最后,即n+1的位置
3，则[a1, a2, a3,… an]已经不是最大堆了，用上面的方法，把数组[a1, a2, a3,… an]变成最大堆
4.不断重复2-3的步骤，从index = n开始循环执行，直到index = 0，这样整个堆排序就结束了。
四、完整的堆排序代码

#!/usr/bin/python env# -*- coding:utf-8 -*-import randomdef filter_down(attr, start, end):    root = start    while True:        child = 2 * root + 1        if child > end:            break        # if  child + 1 <= end and attr[child] < attr[child + 1]:        print 'child is: ******** > ', child        print 'end is:  >>>>  ',end        if child + 1 < end and attr[child] < attr[child + 1]:            child += 1        if attr[root] < attr[child]:            temp = attr[root]            attr[root] = attr[child]            attr[child] = temp            root = child        else:            break    print 'the one circle is: > ', attrdef heap_sort(attr):    attr_num = len(attr) - 1    sort_num = len(attr) // 2 -1    for index in range(sort_num, -1, -1):        filter_down(attr, index, attr_num)    print 'the large heap list is: ', attr    for end_index in range(attr_num, -1, -1):        print ' choose end is ***** >>>>> ', end_index        temp = attr[0]        attr[0] = attr[end_index]        attr[end_index] = temp        filter_down(attr, 0, end_index - 1)if __name__ == '__main__':    attr_list = []    for i in range(15):        attr_list.append(random.randrange(1000))    print attr_list    heap_sort(attr_list)    print '########################'    print attr_list

五、堆排序的时间复杂度
堆排序与快速排序一样，时间复杂度为O(N*logN)