Rqnoj116 质数取石子

题目描述

DD 和 MM 正在玩取石子游戏。他们的游戏规则是这样的：桌上有若干石子，DD 先取，轮流取，每次必须取质数个。如果某一时刻某一方无法从桌上的石子中取质数个，比如说剩下 0 个或 1 个石子，那么他/她就输了。

DD 和 MM 都很聪明，不管哪方存在一个可以必胜的最优策略，他/她都会按照最优策略保证胜利。于是，DD 想知道，对于给定的桌面上的石子数，他究竟能不能取得胜利呢？

当 DD 确定会取得胜利时，他会说：“不管 MM 选择怎样的取石子策略，我都能保证至多 X 步以后就能取得胜利。”那么，最小的满足要求的 X 是多少呢？注意，不管是 DD 取一次石子还是 MM 取一次石子都应该被计算为“一步”。

首先翻译题意：每个人轮流取石子，只能取质数个，哪一方不能取，则视为这一方输。

显而易见这道题是有一个博弈的背景的，那么根据博弈的那两个经典结论，只要能转移到一个必败态的就是必胜态，如果一个必败态都转移不到的就是比败态。

那么我们首先将0与1初始化为必败态，对于每一个数i，减去所有比i小的所有质数，如果有必败态即为必胜态，如果都转移不到就是必败态了。

接着再留心一下题目，题目要求至多x步，那么就是取得胜利的最多次数了。这样的话因为已经求出了哪个点是必胜态与必败态，我们也便可以推出转移方程：

如果这个状态i是必胜态，那么能转移到它的一定是比它小的j的必败态，因为知道自己会胜利，那么一定会选择其中的最小步数。

如果这个状态i是必败态，那么能转移到它的就是比它小的任意一个数了，因为知道自己会失败，那么一定会选择其中的最大步数。

这道题目最恶心的就是卡常数了。于此我使用了o(n)的素数筛来筛出质数，并同时处理出比i小的最大素数是第几个素数，这样能够尽量减少后期的枚举量，以便不被卡常。

下附AC代码。

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#define maxn 20005using namespace std;int cnt=0;int prime[maxn];int jud[maxn];int pos[maxn];void getprime(){    for (int i=2;i<maxn;i++)    {        if (!jud[i])        prime[++cnt]=i;        for (int j=1; j<=cnt && prime[j]*i<maxn;j++)        {            jud[i*prime[j]]=1;            if (i%prime[j]==0)            break;        }    pos[i]=cnt;    }}int vis[maxn];int step[maxn];int main(){getprime();for(int i=2;i<=20000;i++)for(int j=pos[i];j>=1;j--)if(vis[i-prime[j]]==0){vis[i]=1;break;}for(int i=2;i<=20000;i++){if(vis[i]){int minn=30000;for(int j=pos[i];j>=1;j--){if(vis[i-prime[j]]==0 && step[i-prime[j]]<minn){minn=step[i-prime[j]];}}step[i]=minn+1;}else{int maxx=-30000;for(int j=pos[i];j>=1;j--){if(step[i-prime[j]]>maxx){maxx=step[i-prime[j]];}}step[i]=maxx+1;}}int q;cin>>q;while(q--){int x;cin>>x;if(vis[x]==0){cout<<"-1"<<endl;}else {cout<<step[x]<<endl;}}}