LA 4998 Simple Encryption （数论 dfs）

LA 4998 Simple Encryption

题意：
输入正整数K1(K1≤50000),找一个12位正整数K2（不能含有前导零）使得K1^K2≡K2(mod10^12)。

思路：
神奇的数论题，怎么也想不出来，膜膜大佬的方法。
K1^K2≡K2(mod10^12)，同时意味着：
K1^K2≡K2(mod10^i),i ≤12
现在我们用（abcd）表示一个四位数，用（bcd）表示它的后三位；
对于任意一个底数k；我们要证明如果 k^(abcd) = abcd(mod 1e4); 就有 k^(bcd) = bcd(mod 1e3);
显然 k^(abcd) = bcd (mod 1e3)
k^(abcd) = k^(a000) * k^(bcd) = bcd (mod 1e3)
并且根据欧拉函数的求法，有φ(10^i)=10^i*(1-1/2)*(1-1/5)=4*10^(i-1)
所以 φ(1e3) = 4*10^2
根据欧拉定理 k^ φ(1e3) = 1 (mod 1e3)
又因为 a000 是 φ(1e3) 的倍数; 所以 k^ (a000) = 1 (mod 1e3)
那么 k^(abcd) = k^(a000) * k^(bcd) = k^(bcd) = bcd (mod 1e3)
所以 如果 k^(abcd) = abcd(mod 1e4); 就有 k^(bcd) = bcd(mod 1e3);
同理，我们可以得到 如果 k^(abcd…) = abcd…(mod 1ei); 就有 k^(bcd…) = bcd…(mod 1ei-1);
那么我们反向思考，要去找这个12位的k2，就去找一个i位的k3满足 K1^k3≡k3(mod10^i)。
合法的k2就是在这个k3上加上一些前导。
所以就可以用dfs像数位dp这样搞啦！

#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#define LL long longusing namespace std;LL multi(LL x, LL y, LL mod){//神奇的快速乘隔开后20位单独算     LL lf = x * (y >> 20) % mod * (1ll << 20) % mod;    LL rg = x * (y & ((1ll << 20) - 1)) % mod;    return (lf + rg) % mod;}//首先考虑模数最大为10^12，不超过2进制中的40位，那么我们可以将待乘值拆分成高20位与低20位，//确保在乘法时始终不超过60位.LL power(LL a, LL p, LL mod){    LL ans = 1;    while( p ){        if(p & 1) ans = multi(ans, a, mod);        p >>= 1;        a = multi(a, a, mod);    }    return ans % mod;}LL n;LL ans[50010];bool flag;void dfs(int pos, LL pre, LL mod){    if(pos == 12){        if(pre < 1e11 || power(n, pre, mod) != pre) return;        ans[n] = pre;        flag = 1;        return;    }    for(int i=0; i<=9; i++){        LL nex = mod * i + pre;//k2 从个位开始推（加一个前导）         LL lf = power(n, nex, mod);//左式         LL rg = nex % mod;//右式         if(lf != rg) continue;        dfs(pos + 1, nex, mod * 10);        if( flag ) return;//找到一个ans就返回     }}void solve(){    if(ans[n] != -1) return;//记忆化搜索     flag = 0;    dfs(0, 0, 1);}int main(){    int kase = 0;    memset(ans, -1, sizeof(ans));    while(~scanf("%lld", &n) && n){        solve();        printf("Case %d: Public Key = %lld Private Key = %lld\n", ++kase, n, ans[n]);    }}