机器学习（一）基本概念与信息熵

慢慢来入手机器学习吧。基本概念网上或者书中都有一大堆，理解个大概就行，至少懂得一些专业术语，以便于之后能够在神经网络的学习中至少能看懂。

信息熵。。。这是什么东西呢？相当于化学中的熵，我记得高中化学说过，熵是描述分子（是的吧？）有序程度的量。熵越大，越无序。这里的信息熵类似，熵越大，则表示信息越无序，这里，我盗用一下别人举的例子：一个事件或一个系统，准确的说是一个随机变量，它有着一定的不确定性。例如，“除东道主俄罗斯外，哪31个国家能进军2018年俄罗斯世界杯决赛圈”，这个随机变量的不确定性很高，要消除这个不确定性，就需要引入很多的信息，这些很多信息的度量就用“信息熵”表达。需要引入消除不确定性的信息量越多，则信息熵越高，反之则越低。例如“中国男足进军2018年俄罗斯世界杯决赛圈”，这个因为确定性很高，几乎不需要引入信息，因此信息熵很低。那信息熵如何计算呢？举个吴军在《数学之美》中一样的例子，假设世界杯决赛圈32强已经产生，那么随机变量“2018年俄罗斯世界杯足球赛32强中，谁是世界杯冠军？”的信息量是多少呢？ 

根据香农(Shannon)给出的信息熵公式，对于任意一个随机变量X，它的信息熵定义如下，单位为比特(bit)：

H(X)=−∑xεXP(x)logP(x))
那么上述随机变量（谁获得冠军）的信息量是： 
H=-(p1·logp1+p2·logp2+…p32·logp32)

其中，p1,p2,…,p32分别是这32强球队夺冠的概率。 
吴军的书中给出了几个结论：一是32强球队夺冠概率相同时，H=5；二是夺冠概率不同时，H<5；三是H不可能大于5。
对于第一个结论：结果是很显然的，夺冠概率相同，即每个球队夺冠概率都是1/32，所以H=-((1/32)·log(1/32)+(1/32)·log(1/32)+…+(1/32)·log(1/32))=-log(1/32)=log(32)=5(bit)

对于第二个结论和第三个结论：使用拉格朗日乘子法进行证明，详见《求约束条件下极值的拉格朗日乘子法》。这实际上是说系统中各种随机性的概率越均等，信息熵越大，反之越小。

从香农给出的数学公式上可以看出，信息熵其实是一个随机变量信息量的数学期望。

信息熵描述的是随机变量的不确定性。对于同一个随机变量，不同观测者从不同粒度上观察，得到的信息熵是不一样的。
还是举上面世界杯谁夺得冠军的例子，32强谁夺得冠军的信息熵是5比特；如果粒度再粗些，有人关注是哪个州夺得冠军，那么其可能性是5种（欧洲，南美，非洲，中北美州，亚洲），信息熵是2.32比特；如果我们只关注亚洲是否夺冠，那么可能性是2种，信息熵是1比特。 

再举个更随机的例子，中国股市的涨跌（假设非涨即跌，不算平盘），明天是涨还是跌，只有2种可能，信息量（信息熵）是1比特；假设股市只有蓝筹板，中小板，创业板3个板块，这三个板块的涨跌的可能性合计是8种，信息熵是3比特；如果关注的是每个股票的涨跌，2000个股票的可能性合计是22000种，信息熵是2000比特。


因此，对于不同的观测者来说，信息量(信息熵)是不同的，观测粒度越细则信息量(信息熵)越大，观测粒度越粗则信息量(信息熵)越小。

用熵来评价整个随机变量x平均的信息量，而平均最好的量度就是随机变量的期望，即熵的定义如下：

这里的p(x)表示x发生的概率

计算字符的信息熵，参考代码如下：

package sk.ann;    import java.util.Scanner;    public class InfoEntropy {            public static double Entropy(String str) {          double H = .0;          int sum = 0;          int[] letter = new int[26];//26个字符          str = str.toUpperCase(); // 将小写字母转换成大写          for (int i = 0; i < str.length(); i++) { // 统计字母个数              char c = str.charAt(i);              if (c >= 'A' && c <= 'Z') {                  letter[c - 'A']++;                  sum++;              }          }          //计算信息熵，将字母出现的频率作为离散概率值          for (int i = 0; i < 26; i++) {              double p = 1.0 * letter[i] / sum;//单个字母的频率              if (p > 0)                  H += -(p * Math.log(p) / Math.log(2));// H = -∑Pi*log2(Pi)           }          return H;      }                    public static void main(String[] args) {              System.out.println("请输入字符串：");              Scanner scan = new Scanner(System.in);              String str = scan.next();              double H = Entropy(str);              System.out.printf("%4.2f\n", H);          }  }  

执行结果：

请输入字符串：  are you ok!yes i am ok!  1.58