倍增LCA(最近公共祖先)算法详解
来源:互联网 发布:英雄联盟网络连接断开 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 14:31
算是详解吧
算法策略:
比如求x和y的最近公共祖先。
先让深度较大(离根较远)的节点跳到与另一节点相同深度的位置(并不一定是同一个点)。
然后两个节点一起往上跳,跳到他们最近公共祖先的孩子停止。
然后返回结果的父亲节点即可。
倍增需要用到ST表算法(差不多吧)。
没学过ST表看这里
用f[i][j]表示i往上2^j的节点。
比如f[i][0]表示i的父亲,f[i][1]表示i的爷爷……
有了ST表的基础,在此继承状态就显得容易。
f[i][j]表示i往上2^j,那么也就是i往上2^(j-1)再往上2^(j-1)。
所以f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]。
bin[0]=1;for(int i=1;i<=20;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;//bin[i]表示2的i次方。void dfs(int x, int fa) { dep[x]=dep[fa] +1; f[x][0]=fa; for(int i=1;bin[i]<=dep[x];i++) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1]; for(int k=last[x];k;k=a[k].next) { int y=a[k].y; if(y==fa) continue; dfs(y,x); }}
然后如何来实现x和y跳到统一深度呢(不一定是同一个点)
那么他们之间肯定是有个高度差(深度差)。
每一个数都可以用2进制来表示。
比如:
5
2进制表示为101
也就是往上跳2^2再往上跳2^0。
然后要注意一点。从大的往小的跳!(什么意思?)
比如说5;
是先跳2^2再跳2^0
而不是先跳2^0再跳2^2(为什么)
如果是先跳2^0的话。那么并不知道要不要跳2^1(因为5-1之后还剩4,有可能会跳)。
如果是先跳2^2的话。那么肯定不用跳2^1(5-4之后剩1,肯定跳不了2^1)。
这就是区别(感觉我并没有说清楚)!
上代码吧:
int Lca(int x, int y) { if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); for(int i=20;i>=0;i--) if(dep[x]-dep[y]>=bin[i]) x=f[x][i]; if(x==y) return x; for(int i=20;i>=0;i--) if(dep[x]>=(1<<i) && f[x][i]!=f[y][i])//要跳到最近公共祖先的孩子节点。如果f[x][i]==f[y][i]的话那么肯定就跳过了! x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][0];//最后把父亲节点返回即可}
全代码:
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;struct node { int x,y,next;}a[210000];int len,last[110000];int dep[110000],f[110000][25];void ins(int x, int y) { a[++len].x=x;a[len].y=y; a[len].next=last[x];last[x]=len;}int bin[25];void dfs(int x, int fa) { dep[x]=dep[fa] +1; f[x][0]=fa; for(int i=1;bin[i]<=dep[x];i++) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1]; for(int k=last[x];k;k=a[k].next) { int y=a[k].y; if(y==fa) continue; dfs(y,x); }}int Lca(int x, int y) { if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); for(int i=20;i>=0;i--) if(dep[x]-dep[y]>=bin[i]) x=f[x][i]; if(x==y) return x; for(int i=20;i>=0;i--) if(dep[x]>=(1<<i) && f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][0];}int main() { int n,m; bin[0]=1; for(int i=1;i<=20;i++) bin[i]=bin[i-1]*2; scanf("%d%d",&n,&m); len=0;memset(last,0,sizeof last); for(int i=1;i<n;i++) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); ins(x,y);ins(y,x); } dfs(1,0); while(m--) { int x,y,lca; scanf("%d%d",&x,&y); lca=Lca(x,y); printf("%d\n",lca); } return 0;}
LCA目测还是一个很有用的算法。然而倍增的话运用可能更广泛一些。
这篇博客感觉写得不太好,抱歉!
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