Codevs 1169 传纸条

题目：

http://codevs.cn/problem/1169/

题解：一二是四维，三是三维

两条路径同时dp，dp[i][j][x][y]表示第一条路径走到(i,j),第二条路径走到(x,y); 状态转移方程：dp[i][j][x][y]=max{ dp[i-1][j][x-1][y],                         dp[i-1][j][x][y-1],                    dp[i][j-1][x-1][y],                    dp[i][j-1][x][y-1],                  }+v[i][j]+v[x][y];

思路一：
dp[i][j][i][j] - = v[i][j];
对于当dp[i][j][x][y]由一个点(ii,jj)转移而来时，此点传递了两次，状态不合法；
即dp[ii][jj][ii][jj]–>dp[i][j][x][y] 不合法；
因此将dp[i][j][i][j]特殊处理：
对于dp[i][j][i][j],v[i][j]只对答案贡献一次；

正确性证明：
显然由蓝点转移到星点是不合法状态，假设蓝点由黄点转移而来；
将蓝点的dp进行特殊处理，相当于在棕色路径中挖去了一个蓝点；
那么上方的棕色路径显然小于红色路径，故由蓝点转移的这种状态不会在max中取到；

注：
也可直接将dp[i][j][i][j]设为-inf，但要注意特判起点和终点。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int inf=1e9+7;const int N=55;int v[N][N],dp[N][N][N][N],n,m;int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)   scanf("%d",&v[i][j]);    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int j=1;j<=m;j++){            for(int x=1;x<=n;x++){                for(int y=1;y<=m;y++){                    dp[i][j][x][y]=max(max(dp[i-1][j][x-1][y],dp[i-1][j][x][y-1]),                           max(dp[i][j-1][x-1][y],dp[i][j-1][x][y-1]))+v[i][j]+v[x][y];                    if(i==x&&j==y) dp[i][j][x][y]-=v[x][y];//特殊处理                }            }        }    }    printf("%d",dp[n][m][n][m]);    return 0;}

思路二：
将y的范围由1–m，变为j+1–m；
控制了第二个点的列，保证第二个点在第一个点右侧；
除了上图dp[i-1][j][x][y-1]，y=j+1这种情况外，其余情况都合法（不会由同一个点转移来）
而y-1=j，dp[i-1][j][x][j]即j=y这种情况从未循环到过，取max保证了答案的正确性；

    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)            for(int x=1;x<=n;x++)                for(int y=j+1;y<=m;y++)                    dp[i][j][x][y]=max(max(dp[i-1][j][x-1][y],dp[i-1][j][x][y-1]),max(dp[i][j-1][x-1][y],dp[i][j-1][x][y-1]))+v[i][j]+v[x][y];输出dp[n][m-1][n-1][m];

思路三：
降维
由于是网格图，走的步数和x+y有某种神秘的联系，所以可以将把步数作为第一维，第一，二个点的横坐标作为二三维

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int inf=1e9+7;const int N=200;int v[N][N],dp[N][N][N],n,m;int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)   scanf("%d",&v[i][j]);    for(int i=1;i<n+m;i++)    for(int x=1;x<=n;x++)    for(int y=1;y<=n;y++){        if(i+2-x<=0||i+2-y<=0) continue;        dp[i][x][y]=max(max(dp[i-1][x-1][y],dp[i-1][x][y-1]),max(dp[i-1][x-1][y-1],dp[i-1][x][y]))+v[x][i+2-x]+v[y][i+2-y];        if(x==y) dp[i][x][y]-=v[x][i+2-x];    }     printf("%d",dp[n+m-2][n][n]);    return 0;}