数组中的逆序对

来源：互联网发布：奥利奥爆浆油条淘宝编辑：程序博客网时间：2024/06/14 02:56

问：在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。即输出P%1000000007

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思路分析：

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。没扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组排序如上图（c）所示，以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

public class Solution {    public int InversePairs(int [] array) {            if(array==null||array.length==0)            {                return 0;            }            int[] copy = new int[array.length];            for(int i=0;i<array.length;i++)            {                copy[i] = array[i];            }            int count = InversePairsCore(array,copy,0,array.length-1);//数值过大求余            return count;        }        private int InversePairsCore(int[] array,int[] copy,int low,int high)        {            if(low==high)            {                return 0;            }            int mid = (low+high)>>1;            int leftCount = InversePairsCore(array,copy,low,mid)%1000000007;            int rightCount = InversePairsCore(array,copy,mid+1,high)%1000000007;            int count = 0;            int i=mid;            int j=high;            int locCopy = high;            //子数组中，第一个子数组的最后一个数与第二个子数组中的最后一个数进行比较。            //如果大于它，则后一个数组中左右元素都可以与其组成逆序对。前一个数组的数向前倒一个。并将此数加入copy数组，代表此数已经被用过            //如果小于它，则再与后一个数组向后倒一个数进行比较。将后一个数加入copy数组，代表被用过了。            while(i>=low&&j>mid)            {                if(array[i]>array[j])                {                    count += j-mid;                    copy[locCopy--] = array[i--];                    if(count>=1000000007)//数值过大求余                    {                        count%=1000000007;                    }                }                else                {                    copy[locCopy--] = array[j--];                }            }            for(;i>=low;i--)            {                copy[locCopy--]=array[i];            }            for(;j>mid;j--)            {                copy[locCopy--]=array[j];            }            for(int s=low;s<=high;s++)            {                array[s] = copy[s];            }            return (leftCount+rightCount+count)%1000000007;        }}

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