数据结构-树的回顾

前言

笔试当中经常会遇到关于二叉树或者其他关于树的数据结构相关的题，如最近在腾讯的笔试有一道题如下，一颗二叉树中有3个叶子结点，8个度为1的结点，求总结点的数。其实这道题很简单，如果知道在二叉树当中，只存在度为0，1，2这三种结点，且度为0的结点等于度为2的结点+1，即n0=n2+1,那这道题就是so easy了。所以基础知识在此时不言而喻，所以痛定思痛，本文总结一下有关树相关的知识点。

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树的一些基本概念

度：结点拥有的子树数就称为结点的度。度为0的结点称为叶子结点或终端结点。度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。树的度为树内各结点度的最大值。

树的层次：结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第l层，则其子树的根就在l+1层。

树的高度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。

标题

二叉树

概念：

二叉树是n个结点的有限集合，该集合或为空集（空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

特点：

1）每个结点最多有两棵子树。所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。
3）即使树中某结点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。
4）二叉树有5种基本形态：空树，只有一个根结点，根结点只有左子树，根结点只有右子树，根结点既有左子树也有右子树。

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满二叉树：

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。如下图：

特点：

1）叶子结点只能出现在最下一层。
2）非叶子结点的度一定为2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

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完全二叉树：

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。如下图：

特点：

1）叶子结点只能出现在最下两层。
2）最下层叶子一定集中在左部连续位置。
3）倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，不存在只有右子树的情况。
5）同样结点的二叉树，完全二叉树深度最小。

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二叉树的性质：

性质1：在二叉树的第i层上至多有2i−1个节点。(i≥=1)。

性质2：深度为k的二叉树至多有2k−1个节点。(k≥=1)

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端节点树为n0，度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为⌊log2n+1⌋ ,⌊x⌋表示不大于x的最大整数。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为⌊log2n+1⌋）的结点按层编号（从第一层到第⌊log2n+1⌋层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：

1）如果i=1,则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲是结点⌊i/2⌋。
2）如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
3）如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则右孩子是结点2i+1。

如下图二叉树中：

对于第一条来说，i=1就是二叉树的根结点，i>1时，如i=3,其双亲节点为⌊3/2⌋=1。

对于第二条，如结点6，2*6=12>n=10，所以结点6没有左孩子。而对于结点5, 2*5=10<=n，所以结点5的左孩子为结点10。

对于第三条，如结点5，2*5+1=11>n，所以结点5没有右孩子，而结点3，2*3+1=7<10，所以其右孩子为结点7。

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赫夫曼树：

路径长度：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径，路径上的分支数目称为路径长度。

树的路径长度：树的路径长度是从树根到每一个结点的路径长度之和。

如下面的二叉树中：

根节点到结点D的路径长度为2，而其树的路径长度为1+1+2+2+3+3+2+2=16。

而如果考虑带权结点，则结点带权的路径长度为从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。

树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

如上面的二叉树中，结点D的带权路径长度为2*30=60，而树的带权路径长度为3*5+3*15+2*40+2*30+2*10=220。

赫夫曼树：假设有n个权值{w1,w2,w3....,wn}，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wk，则其中带权路径长度WPL最小的二叉树称为最优二叉树或赫夫曼树。

构造赫夫曼树的算法如下：

1）根据给定的n个权值{w1,w2,w3....,wn}构成n棵二叉树的集合F={T1,T2,T3....,Tn},其中每棵二叉树Ti只有一个带权的wi根节点，其左右子树均为空。

2）在F中选取两棵根节点的权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。

3）在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入F中。

4）重复2和3，直到F只含一棵树为止。这棵树就是赫夫曼树。

如上面的二叉树按该算法构造成赫夫曼树如下：

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赫夫曼编码：

设需要编码的字符集为{d1,d2,d3....,dn}，各个字符在电文出现的次数或频率集合为{w1,w2,w3....,wn}，以d1,d2,d3....,dn作为叶子结点，以w1,w2,w3....,wn作为相应叶子结点的权值来构造一棵赫夫曼树。规定赫夫曼树的左分支代表0，右分支代表1，则从根结点到叶子结点所经过的路径分支组成的0和1的序列便为该结点对应字符的编码。也就是赫夫曼编码。如下图的转换：