常用小波基函数以及多尺度多分辨率的理解

最近在做图像融合相关的工作。需要用到小波分析。

小波分析中用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数具有多样性。使用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。

以下列出15种小波基函数是matlab支持的15种：

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小波函数 Harr Daubechies Biorthogonal Coiflets Symlets Morlet Mexican Hat Meyer 小波缩写名 haar db bior coif sym morl mexh meyr 表示形式 haar db N Biorthogonal Coiflets Symlets Morlet Mexican Hat Meyer 举例 haar db3 bior2.4 coif3 sym2 morl mexh meyr 正交性 有 有 无 有 有 无 无 有 双正交性 有 有 有 有 有 无 无 有 紧支撑性 有 有 有 有 有 无 无 无 连续小波变换 可以 可以 可以 可以 可以 可以 可以 可以 离散小波变换 可以 可以 可以 可以 可以 不可以 不可以 可以 但无FWT 支撑长度 1 2N-1 重构:2Nr+1
分解:2Nd+1 6N-1 2N-1 有限长度 有限长度 有限长度 滤波器长度 2 2N Max(2Nr,2Nd)+2 6N 2N [-4, 4] [-5, 5] [-8, 8] 对称性 对称 近似对称 不对称 近似对称 近似对称 对称 对称 对称 小波函数
消失矩阶数 1 N Nr-1 2N N - - - 尺度函数
消失矩阶数 - - - 2N-1 - - - -
小波函数 Gaus Dmeyer ReverseBior Cgau Cmor Fbsp Shan 小波缩写名 gaus dmey rbioNr.Nd cgau cmor fbsp shan 表示形式 gaus N dmey rbioNr.Nd cgau N cmor fbsp shan 举例 gaus3 dmey rbio2.4 cgau3 cmor fbsp shan 紧支撑正交性 无 无 无 无 无 无 无 紧支撑双正交性 无 无 有 无 无 无 无 连续小波变换 可以 不可以 可以 不可以 不可以 不可以 不可以 离散小波变换 不可以 可以 可以 不可以 不可以 不可以 不可以 对称性 对称 对称 对称 对称 对称 对称 对称 小波函数
消失矩阶数 - - - - - - - 尺度函数
消失矩阶数 - - Nr-1 - - - -

小波变换中多尺度和多分辨率的理解：
多尺度：选定一个母小波（如Haar小波）作为小波基时，将母小波经过尺度变化（a）和位移得到一簇小波，这一簇小波就可以用来表达一个信号（图像）。这里经过尺度变化得到一簇小波的过程即是小波变换中多尺度的概念。
多分辨率：小波变换用于图像分解时，会将一张图像分解成低频与高频的几部分。其中低频表示图像的整体信息，高频表示图像的细节信息。如下图所示，这里通过小波变换将图像进行了一层分解。这里的将一张图像分解成低频和高频的几部分即是小波变换中多分辨率的概念。

参考

• 有关小波的几个术语及常见的小波基介绍
• 多尺度与多分辨率的理解