树形依赖动态规划

定义

树形依赖动态规划一般为背包问题，依赖就是指儿子依赖于父亲的树形动态规划，一般形式为只有选择了父亲节点才能选择儿子节点，对于这一种特殊的树形动态规划，有一种时间复杂度十分优秀的的方法可以解决此类问题。

举个例子

先来一道例题，给出一棵有n个点的树，1为根节点，选择第i个点的价值为Vi，付出的代价为Pi，只有选择了父亲节点才可以选择其儿子节点，最多可以付出的总代价为M，在不违反上述规定的条件下求最大化的总价值。
N,M≤2*103

普通做法

设fi,j表示选择以i为根的这一棵子树，花费了j的代价时所能获得的最大代价。转移就很显然了分别枚举在i的所有儿子花费的代价，最后把自己选上即可。
由于每次合并的复杂度为M2，总共合并N次，所以总时间复杂度为O(NM2)。

{    int i,j,l,k;    fo(i,1,g[o])dg(son[o][i]);    fo(i,1,g[o])    fd(j,m-P[o],P[son[o][i]])    fo(l,P[son[o][i]],j)    f[o][j]=max(f[o][j],f[son[o][i]][l]+f[o][j-l]);    fd(i,m,P[o])f[o][i]=f[o][i-P[o]]+V[o];}

特殊做法

上述做法显然会超时。
我们分析一下为什么这样做时间复杂度这么大了，每一次合并的时间复杂度为M2，如果可以每次转移都能做到M的时间复杂度，那总时间复杂度就是O(NM)，接下来就给出这种做法的具体做法。
首先求出整棵树的dfs序，并求出以i为根的字数大小sizei。
设fi,j表示选到 第i个点时花费的代价为j时所能获得最大的价值，第i个点可选可不选。
按照dfs序从后往前做，如果当前点i不选，则第一个转移为fi,j=fi+sizei,j，表示继承它后一个兄弟的状态(兄弟即指它父亲的其他儿子)。
如果当前选择第i个点，则从i的对应的dfs序的下一位(记为k)转移过来，即fi,j=min(fi,j,fk,j−Pi+Vi)，仔细思考一下便可发现这样转移是正确的。

给出一张转移的简略草图，帮助理解。
注，黄色线表示第一种转移，即不选择第i个点的转移，红色线为第二种转移。