斯坦福机器学习公开课--整理笔记（…

本节课内容是：朴素贝叶斯的更多模型、神经网络入门、支持向量机

一、朴素贝叶斯

在上一课中提到，对于一个新样本，由贝叶斯方法得到的模型可以做出如下推断

而贝叶斯的最终目的，就是在P（y=1|x）和P（y=0|x）两者中，选值大的一方作为label就行

而在本节课的开头，先介绍了此方法的两种变化

变化一：

在上式中Xi的取值只有0和1两种，那么让Xi取多个值，即Xi∈{1,2,…,k}，则上式中会发生如下变化：p(x|y) =∏ p(xi|y)，此时p(xi|y)变成多项式分布，而不是伯努利分布。

变化二：

将邮件的表示改一下，改成一个（xi1, xi2, ......,xini），这个的意思表示：第i封邮件，一共有ni个词，其中xij，表示这个第i封邮件中，第j个词对应的数字，数字是一个索引，指向词典中的xij个词，比如词典一共50000个词，那么xi20=300则表示邮件中第20个词是词典里面的第300个词。

此时生成模型的联合概率p(xy)为：（p(y|x)=p(xy)/p(x)，因此我们主要是求的p(xy)，p(x)可由之前内容得到）

其中有多个参数，求得极大似然结果如下：

如第一个Φk|y=1，分子表示，所有垃圾邮件中，词k出现的次数，分母表示，所有垃圾邮件的词数总和。因此整个公式表示，表示在训练集中，如果一封邮件是垃圾邮件，词k出现的概率。

类似的，对参数进行拉普拉斯平滑，则有：

V是词典的总词数。可以看到，这种方法并不关心词k出现在哪个位置，仅仅是关心它出现的次数。一般来说，这种方法比上面的未变化的贝叶斯方法要好，具体原因有待探究，实验表现更优秀。

另外，在讲完这一部分的Q&A中，提到了极大似然估计的方法，简单来说就是列出似然性公式，然后找到使这个公式最大化的值即可。

二、神经网络

在前面的章节中，主要讲的是线性分类，以逻辑回归为例，不管是用梯度下降还是牛顿方法，目的都是找到一条直线，进行例如“值小于0.5预测0，大于0.5预测1”这种类型的划分。而非线性分类，就是当数据不能被一条直线分开，需要一种算法，学习非线性的分界线。

讲到这里，Andrew好像又发现自己漏讲了一个知识点，又回顾了一下：

根据广义线性模型（GLM）的知识，对于一个样本的输出值y值，仅有0，1两项，那么你可以假设它服从于伯努利分布，然后根据广义线性模型的一个固定流程，就可以得出该样本的模型——那就是逻辑回归模型。由此得到一个推论：如果x|y=1~ ExpFamily(η1)，x|y=0 ~ ExpFamily (η0) 那么p(y=1|x)是logistic函数。

由于朴素贝叶斯也是满足这样的模型，即它也属于指数函数族，因此它得到的也是逻辑回归模型，即线性模型。

而神经网络，就是非线性模型的一个体现 。一个神经网络由多个单元组成

以之前提到的sigmoid函数为例，假设输入特征为x0~x3，那么对应的单元即是以此为输入，然后输出为hθ（x），此函数即为一个sigmoid函数，如下图

多个这样的sigmoid函数拼在一起，即为一个神经网络

我们得到的最终hθ（x），就是我们需要的非线性分界线

此模型中的参数为：

接下来只需使用梯度下降的方法，使之前提到的损失函数J（θ）最小，即可优化这些参数。实际上，在神经网路中，梯度下降有另一个专门的称呼——反向传播。

三、支持向量机（SVM）

这里虽然标题是SVM，但Andrew实际讲的是另一种。SVM是一种非线性分类器，但这里先讲一种应用了SVM思想的线性分类器，之后的课程中再慢慢拓展到SVM

在开始新内容之前，Andrew先修改了一下自己用的符号，之前在讨论logistic回归时，使用的很多符号并不能用在支持向量机上面，正好这里对比一下两者：

另外，之前在使用式：hθ(x)=g(θTx)时，假设x0=1且x为n+1维向量

现在改为：hw.b(x)=g(wTx+b)，其中b相当于是之前的θ0，w相当于原来的θ向量除去θ0之后的值。因此新版的w，x均是n维向量，不像logistic回归里面，都是n+1维。

把b单独拿出来的目的 ，就是为了引出支持向量机

首先，从直观的角度感受一下我们一直强调的分类效果：如果θTx>>0，相当确定的预测y=1；如果θTx<<0，相当确定的预测y=0。也就是说，从可信度考虑，我们不仅需要分类器能分类，而且对分类结果的可信度我们也要求越高越好。因此有了函数间隔等概念。

一个超平面(w,b)和某个特定训练样本(x(i),y(i))对应的函数间隔定义为：

这个就相当于是一个能体现距离的量，如果y(i)=1，为了获得较大的函数间隔，需要令wTx(i)+b >>0；这个概念符合我们上面提到的对于分类直观感受

那么一个超平面(w,b)和整个训练集的函数间隔定义为：

即这个样本集中，离这个超平面最近的那一个样本对应函数间隔。自然地，对于同一个训练集，不同的超平面有不同的函数间隔。那么我们的分类，可以直观理解为，我们要找到一个超平面，使得样本离它的距离最远。

值得注意的是，我们可以对参数w和b同时放大/缩小任意相同的倍数，虽然不会影响分类的结果，但是函数间距的值却会发生变化，因此一般会把w、b正规化，比如令||w||=1等。

类似的，几何距离定义为：一个训练样本对应的点到由超平面确定的分隔线的距离。然后经过一系列推导，对于一个样本（xi，yi），它相对于（w，b）的几何间隔为：

而对于一个训练集，它的几何间隔就可以类似地定义为，所有样本中间隔最小的那个几何间隔。另外有结论：如果||w||=1，函数间隔等于几何间隔。更一般的，几何间隔等于函数间隔除以||w||。

至此，我们就可以把之前直观感受上的最大间隔分类器，写成书面化语言了：

找到一组（w，b），即一个超平面，使得对应的几何间隔最大，因为在上式中||w||=1，所以也相当于函数间隔最大。