Function Maps: A Flexible Representation of Maps Between Shapes

1) 图1， 先通过discriptor算出每点的值， 然后算出function map，即matrix C. 左图是说明discriptor每有区分左右， 中图加了对应约束使其左右交换， 右图为了说明function map满足代数运算， 左图减去中图就得到保方向的function map

2) section 4

注意 f,g是从manifold上面到实数的函数， T,T−1是从一个manifold到另一个manifold人映射，TF,T−1F是从一个函数到另一个函数的映射。

TF(f)=g=f∘T−1

3) Note that C has a particularly … cij=<TF(ϕMi),ϕNj>
只有正交的时候内积才是投影

4） 图2主要说明near-isometric maps 的funtion map是一个稀疏，大体对角的矩阵。

5) 5.1 Indeed, … applications.
基为每点单色， 但是基的数量会很多， 并不compact. 然后图3阐述了不同数量的eigenvector作为基，最后得到的平均geodesic error.

关键句： maps that correspond to bigger deformations require more basis vectors, capturing the intuition that near-isometric maps are more compactly represented.

Note that the eigenfunctions of the unweighted discretization of Laplace-Beltrami operator provide a more compact representation of the map for the same quality of reconstruction.

6) 图4主要说明near-isometric maps induce matrices that are nearly sparse
the functional matrix C stops being diagonal very quickly under even mild non-isometric deformations.

7) 图5主要说明functional representation的连续性， 这里通过插值的方式表现出来

8) 5.3讲各种constraints

9) Theorem5.1 看后面附录的证明，
Ci,j=<TF(ϕMi),ϕNj>=∫NϕMi∘T−1(y)ϕN(y)μN(y)
Dj,i=<SF(ϕNj),ϕMi>=∫MϕNj∘T(x)ϕM(x)μM(x)

里面积分式一样， 外面体积一样， 所以C=DT

10) 6.1 事件复杂度,建树O(VNlogVN)， 查找O(VMlogVN)

11) 图6 说明他的方法比别人牛逼，竖轴为匹配部分的百分比

12) 图7 说明maps跟mesh的拓扑结构无关， 这里只用了x,y,z的坐标信息然后分别渲染到R,G,B通道

13) 图8说明他们的方法能帮别人提升（通过6.2）, 图9也是

14) 8.2是说一堆shape（shape collection）的匹配问题, 图10 a是原始错误， b是运行ICSM后的错误， c用diffusion运行在ICSM结果上。图11也是
15)说明segmentation的方法, 对于原模型的segmentation,每个区域用一个indicator function,然后转移到新的模型上

第一项是求funtional map C, 第二项是保isometric, 第三项是operator commutativity

注意这里Sfk和Sgk是从一个函数变到另一个函数, 并且这两个函数都是作用于同一个manifold