【CodeForces429E】Points and Segments（欧拉回路）

题目大意

有n(1≤n≤105)条线段，每条覆盖[li,ri](1≤li,ri≤109,li和ri是整数)的区间，给每条线段染红色或蓝色，使得数轴上每个点（不一定是整点）的红色覆盖数与蓝色覆盖数差的绝对值小于等于1。输出任意一种染色方案。

题解

用到的欧拉回路性质

先说一说我们在本题中需要用到的一些欧拉回路的一些性质。

（红色是从左往右走，蓝色是从右往左走）

当图的结点都在一个数轴上时，如果存在欧拉回路，
当一个点被一条边从左往右越过，或发出一条像有的边，因为存在环，所以这个点一定被另一条从右往左的边越过，或收到一条向左的边。
这样，每个点向右发出或越过的边一定等于向左接收或越过的边，利用这个性质红蓝染色，就可以解决本题。
注意：一个点接收到的向右的边，或发出的向左的边是没有计算在上述性质中的。

建图

我们需要考虑的是数轴上所有点，而不是整点。
可以发现数轴上很多点的覆盖情况是一样的，所以应该区间一段一段的考虑。
可以发现，这样的区间

与这样的区间

是没有区别的，也就是说，我们可以把右端点右移一点，没有影响。
我们甚至可以把上图的第一条线段的右端点右移到无限逼近与5，但和5中间还是有段空间。
可以把坐标5拆成51,52，51是一个无限逼近与5的位置，52就是5，51与52之间依然有距离。
然后把上面所说的点当做结点，将线段连边，第一条线段就是1−>51连走无限次的边，每个数字的两个结点都要连边（这些边最后不染色，是无关的）。

为什么要把原本线段是[1,4]的，最后连成[1,51]呢？
因为线段[1,4]是包含4的，而前面讲的欧拉图性质是没有计算向右进入的边，如果直接连向4，相当于把4忽略掉了，所以连向5，保证了区间覆盖情况不变。
（实际上，实现时，每个数字并不需要拆成两个点，因为这两个点之间欧拉路直接带过，没有卵用，只是为了方便理解）

连好这些边后，有可能并不存在欧拉回路，因为还有很多奇点，而我们并不能随便把这些奇点连接起来，因为关于这些点的边有可能跨越了大片其它与之不连通的点，乱连会造成错误。（每条欧拉路径，没有环，都会造成一些点，覆盖的两种颜色正好差一，而欧拉路径多了，叠加后可能造成一种颜色过多，如下图，红色太多）

注意到走完欧拉路径，起点和终点两个是奇点，它们这之间一定是颜色覆盖数不相等的，而其他区域都是红蓝相等。
由所以如果从一个奇点走到另一个奇点，中间如果还夹着其它奇点，就会造成中间一个区间，被多个奇点连线覆盖，导致这一区间多次缺少某一颜色。所以如果我们按顺序把相邻的奇点连在一起，就可以避免，原因：

• 如果相邻的奇点是不同连通块，连起来后，连成一个连通块，会成为一个更大的连通块，而这个大连通块要么已经是回路（此时只有这两个奇点之间缺一颜色），要么仍有起点和终点，而起点和终点一定在这两个奇点后面了，永远无法影响此处，这里就完事了。
• 如果相邻的奇点是同一连通块的起点和终点，连接后，以后其它的连通块也不会再影响这里。

所以，总体过程，把输入的线段右端点+1，然后离散化，然后直接连边，把相邻的奇点连边，跑欧拉路。从左往右走的路染红色，从右往左的路染蓝色。

代码

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN=400005;int id[MAXN*2],edge[MAXN][2];struct Edge{    int u,v,segid;    bool vis;    Edge *next,*back;}*V[MAXN*2],E[MAXN*2],*cur=E;void add_edge(int a,int b,int i){    cur->u=a;    cur->v=b;    cur->segid=i;    cur->next=V[a];    cur->back=cur+1;    V[a]=cur++;    cur->u=b;    cur->v=a;    cur->segid=i;    cur->next=V[b];    cur->back=cur-1;    V[b]=cur++;}Edge *path[MAXN*2];int pcnt;void euler(int id){    for(Edge *p=V[id];p;p=p->next)        if(!p->vis)        {            p->vis=1;            p->back->vis=1;            euler(p->v);            path[++pcnt]=p;        }}bool vis[MAXN*2];int deg[MAXN*2];int obb[MAXN*2],ocnt;bool ans[MAXN];int main(){    int n,m,l,r;    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d%d",edge[i],edge[i]+1);        edge[i][1]++;        id[i*2-1]=edge[i][0];        id[i*2]=edge[i][1];    }    sort(id+1,id+n*2+1);    m=unique(id+1,id+n*2+1)-id-1;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        l=lower_bound(id+1,id+m+1,edge[i][0])-id;        r=lower_bound(id+1,id+m+1,edge[i][1])-id;        add_edge(l,r,i);        deg[l]++;        deg[r]++;    }    for(int i=1;i<=m;i++)        if(deg[i]&1)            obb[++ocnt]=i;    for(int i=1;i<=ocnt;i+=2)        add_edge(obb[i],obb[i+1],0);    for(int i=1;i<=m;i++)        if(!vis[i])        {            pcnt=0;            euler(i);            vis[path[pcnt]->u]=1;            for(int j=pcnt;j>0;j--)            {                vis[path[j]->v]=1;                ans[path[j]->segid]=(path[j]->u<path[j]->v);            }        }    for(int i=1;i<n;i++)        printf("%d ",(int)ans[i]);    printf("%d\n",(int)ans[n]);    return 0;}