算法的时间复杂度 递推

算法的时间复杂度  递推

1.

NOIP 2013 提高组 初赛

7.斐波那契数列的定义如下：F₁ = 1, F₂ = 1, F_n =F_n–1 + F_n–2 (n ≥ 3)。如果用下面的函数计算斐波那契数列的第 n 项，则其时间复杂度为（ ）

int F(int n)

{

       if(n<=2)

              return 1;

       else

              return F(n-1)+F(n-2);

}

A. O(1)          B.O(n)          C. O(n²)      D. O(F_n)

 

2.

NOIP 2015 提高组 初赛

10.设某算法的计算时间表示为递推关系式T(n)= T(n -1) + n（n 为正整数）及T(0) = 1，则该算法的时间复杂度为（       ）

A．O(log n)         B．O(nlog n)      C．O(n)               D．O(n²)

3.

NOIP 2016 提高组 初赛

答案：

1.D

2.D

3.C

详解：

2.

T(n)=T(n-1)+n                             (1)

T(n-1)=T(n-2)+n-1                       (2)

T(n-2)=T(n-3)+n-2                       (3)

T(n-3)=T(n-4)+n-3                       (4)

……

T(3)=T(2)+3                                 (n-2)

T(2)=T(1)+2                                 (n-1)

T(1)=T(0)+1                                 (n)

 

将(n)式带回(n-1) 式,将(n-1)式带回(n-2) 式，将式子依次带回，最后带回(4) 式，(3) 式，(2) 式，(1) 式。带入式子结果如下:

T(n)=T(0)+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n

计算结果如下：

T(n)=1+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n

T(n)=1+(1+n)*n/2

故算法的时间复杂度为

O(n²)

3.