组合数学-- 放回取样基础公式证明

放回取样

用C^R(m , r) 表示放回取样或者重复取样时一个m集合的r组合的数量，例如在允许放回取样的情况下，集合{a , b}的4个元素的组合可以得到下面的结果：

{a,a,a,a}, {b,b,b,b},

{a,a,a,b}, {a,a,b,b}, {a,b,b,b}

下面我们给出可放回取样的公式和证明

C^R(m , r) = C(m+r-1, r)

 

如果我们把上面的公式写成数学方程，

m个元素用a₁, a₂, …, a_m表示，a_i != a_j,i!=j

X₁+X₂+…+X_m = r,其中X_i >=0(i=1,2,,m)，X_i表示a_i的个数，

当我们继续把数学公式转化为0,1串时，如下

0,0,…0, 1, 0,0,…0, 1, ……. 1, 0,0…

我们用1来分隔0，其中0的个数为X_i的值，也就是说0的总个数为r,1的总个数为m-1，

我们从r+m-1个位置中找到m-1个位置存放1,于是有C(m+r-1,m-1)中可能的0,1序列，C(m+r-1,m-1) = C(m+r-1,r)

于是C^r(m,r) =C(m+r-1,r)