欧几里得扩展

拓展欧几里得：

当 gcd （ a ， b ）= d 时，求绝对值和最小的 x ， y 使得 x * a + y * b = d ；

d = gcd （ a ， b ） = gcd （ b ， a mod b ）；

设：

x1 * a + y1 * b = d ；　　　　　　　　①

x2 * b + y2 * （ a mod b ） = d ；　　 ②

因为 a mod b = a - （ a / b ）* b；　　③（除法为整除）

将③代入①整理得：

y2 * a + （ x2 - （ a / b ） * y2 ） * b = d；　④

由①和④整理得：

x1 = y2 ；

y1 = x2 - （ a / b ） * y2；

将此结论代入递归函数既得。

#include<stdio.h>#define ll long longvoid gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){    if(!b){d=a;x=1;y=0;}    else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}}int main(){    ll a,b,d,x,y;    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){        gcd(a,b,d,x,y);        printf("%lld*%lld+%lld*%lld=%lld\n",a,x,b,y,d);    }    return 0;}

拓展欧几里得求逆元：

当 a 与 b 互素时有 gcd （ a ， b ） = 1 ；

即得： a * x + b * y = 1；

a * x ≡ 1 （ mod b ）；

由于 a 与 b 互素，同余式两边可以同除 a ，得：

1 * x ≡ 1 / a （mod b）；

因此 x 是 a mod b 的逆元；

#include<stdio.h>#define ll long longll gcd(ll a,ll b,ll &d,ll& x,ll& y){    if(!b){        d=a;        x=1;        y=0;        return x;    }    else{        gcd(b,a%b,d,y,x);        y-=x*(a/b);    }    return x;}int main(){    ll a,b,d,x,y;    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){        x=gcd(a,b,d,x,y);        printf("a:%lld->x:%lld\n",a,x);//        printf("a:%lld->x:%lld\nb:%lld->y:%lld\n",a,x,b,y);    }    return 0;}