【NOIP2017提高A组模拟9.5】遥远的金字塔 斜率优化详解

Description

Input

Output

只包含一个数，最大面积

Sample Input

5 3
1 6
1 5
3 5
4 4
4 4

Sample Output

15

Solution

显然可以dp，设f[n][k]表示做到第n层，用了k个矩形的最大面积
转移显然，n2k的很简单
那nk的呢？用斜率优化就行了
大概讲一下斜率优化吧（我也是今天才想起来这玩意怎么搞）
这题的转移方程（忽略第二维）为：

f[i]=f[j]+a[i]∗(i−j)

假设决策j比决策k优，可以列出一个不等式，化简得

f[j]−f[k]j−k>a[i]

a[i]为第i层的大小
设S(i,j)为那个分数
用单调队列维护
设队头为h，当S(h+1,h)>a[i]时，队头不是最优，出队
出队后的对头一定是最优的，更新f[i]
假设S(i,j)<S(k,i)，i一定不最优
假设S(i,j)>a，i比j优，但这时S(k,i)也一定>a，所以k更优，所以i不最优
当S(i,j)<a时出队尾，并把i入队即可

Code

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;i++)#define N 20010#define ll long long#define fd(i,a,b) for(ll i=a;i>=b;i--)using namespace std;ll f[N][110],a[N],n,m,d[110][N],s[110],t[110];double S(int j,int k,int i){    return (f[j][i]-f[k][i])*1.0/(j-k);}int main(){    freopen("pyramid.in","r",stdin);//  freopen("pyramid.out","w",stdout);    scanf("%lld%lld",&n,&m);    fo(k,0,m) d[k][s[k]=t[k]=1]=0;    fo(i,1,n)    {        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);        a[i]=y-x+1;        fd(k,min(i-1,m-1),0)        {            while(s[k]<t[k]&&S(d[k][s[k]+1],d[k][s[k]],k)>a[i]) s[k]++;            f[i][k+1]=max(f[i][k+1],f[d[k][s[k]]][k]+a[i]*(i-d[k][s[k]]));            while(s[k+1]<t[k+1]&&S(d[k+1][t[k+1]],d[k+1][t[k+1]-1],k+1)<S(i,d[k+1][t[k+1]],k+1)) t[k+1]--;            d[k+1][++t[k+1]]=i;        }    }    ll ans=0;    fo(i,1,n) fo(j,1,m) ans=max(ans,f[i][j]);    printf("%lld",ans);}