第1章 概率论的基本概念

现象：
1. 确定性现象
2. 随机现象 在个别实验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。

第一节 随机试验

1. 随机试验概念

第二节 样本空间、随机事件

1. 样本空间概念
2. 样本点概念
3. 随机事件
4. 必然事件
5. 不可能事件

第三节 频率与概率

1. 频率的概念
2. 概率的概念
   
   • 非负性：对于每一事件 A，有 P(A)≥0；
   • 规范性：对于必然事件 S，有 P(S)=1；
   • 可列可加性：设 A1,A2,⋯ 是两两互不相容的事件，即对于 AiAj=∅,i≠ji,j=1,2,⋯ 有 P(A1∪A2∪⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯
3. 概率的性质
   
   • 性质1：P(∅)=0
   • 性质2有限可加性：若 A1,A2,⋯,An 是两两互不相容的时间，则有 P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)
   • 性质3：设 A,B 是两个时间，若 A⊂B，则有
     P(B−A)=P(B)−P(A)
     P(B)≥P(A)
   • 性质4：对于任一事件 A，P(A)≤1
   • 性质5逆事件的概率：对于任一事件 A，有 P(A⎯⎯⎯)=1−P(A)
   • 性质6加法公式：对于任意两事件 A,B 有
     P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
   • 性质6推广：对于任意三事件 A1,A2,A3，有
     P(A1∪A2∪A3∪)=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1A2)−P(A1A3)−P(A2A3)+P(A1A2A3)

第四节 等可能概型(古典概型)

1. 等可能概型概念

第五节 条件概率

1. 条件概率定义：设 A,B 是两个事件，且 P(A)>0，称
   P(B|A)=P(AB)P(A)
   为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。
   
   • 非负性：对于每一事件 B，有 P(B|A)≥0；
   • 规范性：对于必然事件 S，有 P(S|A)=1；
   • 可列可加性：设 B1,B2,⋯ 是两两互不相容的时间，则有
     P(∪∞i=1Bi|A)=∑i=1∞P(Bi|A)
   • 条件概率满足概率的基本性质：
     P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)−P(B1B2|A)
2. 乘法定理：设 P(A)>0，则有
   P(AB)=P(B|A)P(A)
3. 全概率公式和贝叶斯公式
   
   • 样本空间的划分：设 S 为试验 E 的样本空间，B1,B2,⋯,Bn 为 E 的一组事件，若
   • (1) BiBj=∅,i≠ji,j=1,2,⋯,n;
   • (2) B1∪,B2∪,⋯,∪Bn=S
   • 则称 B1,B2,⋯,Bn 为样本空间 S 的一个划分。
   • 定理全概率公式 设试验 E 的赝本空间为 S，A 为 E 的事件，B1,B2,⋯,Bn 为 S 的一个划分，且 P(Bi)>0(i=1,2,⋯,n) 则
     P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+⋯+P(A|Bn)P(Bn)
   • 定理贝叶斯公式 设试验 E 的样本空间为 S。A 为 E 的事件，B1,B2,⋯,Bn 为 S 的一个划分，且 P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,⋯,n)，则
     P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)i=1,2,⋯,n

第六节 独立性

1. 独立性定义：设 A,B 是两事件，如果满足等式
   P(AB)=P(A)P(B)
   则称事件 A,B 相互独立。