概率论与数理统计笔记 第一章 概率论的基本概念
来源:互联网 发布:天津大学软件学院地址 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 18:25
概率论与数理统计笔记 第一章 概率论的基本概念
概率论与数理统计笔记(计算机专业) 作者: CATPUB
课程:中国大学MOOC浙江大学概率论与数理统计
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第0讲 绪论
- 绪论
第1讲 样本空间,随机事件
- 样本空间
- 集合
S
- 集合
- 随机事件
- 集合
A⊆S
- 集合
- 基本事件
- 集合
A 只有一个元素
- 集合
- 不可能事件
- 集合
A=∅
- 集合
第2讲 事件的相互关系及运算
- 事件的关系
- 包含
A⊆B - 相等
A=B - 和事件
A+B - 积事件
A∩B,AB - 不相容事件,互斥事件
AB=∅ - 差事件
A−B - 逆事件
A¯¯¯
- 包含
- 事件关系满足交换律,结合律,德摩根率
- 基本的运算规律
A+A¯¯¯=1 AA¯¯¯=∅ A−B=A∩B¯¯¯=A−AB
第3讲 频率
- 频率
第4讲 概率
- 直观定义:随机事件发生的稳定值,记为
P(A)=p - 概率的性质(前三条为概率的公理化定义)
- 非负性
P(∅)=0 - 规范性
P(A)=1−P(A¯¯¯) - 可列可加性
- 若
A,B 两两互斥 P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)
- 若
P(B−A)=P(B)−P(AB) - 概率的加法公式
P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)−∑1≤i<j≤nP(AiAj)+∑1≤i<j<k≤nP(AiAjAk)+...+(−1)n−1P(A1A2...An)
- 非负性
第5讲 等可能概型(古典概型)
- 特点
- 有限性
- 等可能性
- 组合数
CnN=(Nn)=N!n!(N−n)!
- 例题5-1
- 抽签问题
- 先抽后抽概率相等
第6讲 条件概率
- 定义
P(B|A)=P(AB)P(A),P(A)>0
- 乘法公式
P(AB)=P(A)P(B|A)
第7讲 全概率公式与贝叶斯公式
- 全概率公式
- 若
B1,B2,B3,...,Bn 是S 的划分(离散数学中的概念),则 P(A)=∑j=1nP(Bj)P(A|Bj) - 关键在于能否构造一个合适的划分
- 原理是分情况讨论
- 若
- 贝叶斯公式
P(Bi|A)=P(ABi)P(A)=P(Bi)P(A|Bi)∑nj=1P(Bj)P(A|Bj) - A是后验概率,B是先验概率。贝叶斯公式描述了先验概率已知的情况下,后验概率对先验概率的修正。
- 直观理解:癌症检查中,已知一个人有患癌症的可能,那么后验概率(检查结果)对先验概率(检查前患癌症的可能)的修正,可以增加或减少这个人患癌症的概率。也即医院检查可以(一定概率上)确诊。
- 作者拓展:贝叶斯公式在推荐算法上(如搜索引擎排序)具有重要应用,它可以通过用户的点击修正推荐排序结果
第8讲 事件的独立性
- 事件的独立性常常通过实际情况来判断
- 公理化定义
- 对事件组
A1,A2,...,An ,若他们相互独立,则必有 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)...P(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An) - 注意,若三个事件两两独立,不能推出三个事件相互独立
- 对事件组
- 性质
- 若
A,B 相互独立,则A¯¯¯,B ,A,B¯¯¯ ,A¯¯¯,B¯¯¯ 也相互独立
- 若
- 小概率事件
- 小概率事件在一次实验中几乎不发生
- 但在大规模重复实验中,至少有一次发生的概率非常高
作者拓展:三门问题
三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?如果严格按照上述的条件,即主持人清楚地知道,哪扇门后是羊,那么答案是会。不换门的话,赢得汽车的几率是1/3。换门的话,赢得汽车的几率是2/3。
这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论:虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾,但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。
- 问题的关键在于主持人已知哪个门后有羊,他的行为(排除一个错误答案)改变了赢得汽车的概率。
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