组合数学-HDU5894

https://vjudge.net/contest/183475#problem/C

题目大意：

圆周上有N个不同的椅子，要让M个相同的人坐在上面，使得两人之间至少隔K把空椅子，求方案数（模1e9+7）。

0< M < N<1e6, 0< K<1000.

题解：

考虑每两个人之间隔了几把椅子。可以发现，一共有M个数，和为N-M，且每个数都>=K.将每个数都减去K-1，即得到：M个正数之和为N-K*M，方案数为C(N-K*M-1,M-1).需要乘以圆排列的N，同时每个方案被算了M次，再除以M。

因为有n个位置,所以第一个人位置的选法就有n种

再考虑此题中每个人都是一样的,即不同方案仅仅是坐的位置序列不同,那上述做法会重复计算m次

比如有3个人,假设他们坐的位置是(2,4,7),那么,(4,2,7),(7,2,4)是重复计算的

答案为：C(N-K*M-1,M-1)*N/M。需要用预处理阶乘的方法计算组合数。注意特判M=1的情况。

#include<bits/stdc++.h>#define ll long longconst ll mod=1e9+7;using namespace std;ll qmod(ll n,ll m,ll mod){    ll ans=1;    while(m)    {        if(m&1)ans=(ans*n)%mod;        m>>=1;        n=(n*n)%mod;    }    return ans;}ll C(ll n,ll m){    if(n<m||n<0||m<0)        return 0;    ll ans=1;    for(int i=1;i<=m;i++)        ans=(ans*(n-i+1)%mod)*qmod(i,mod-2,mod)%mod;    return ans;}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        int n,m,k;        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);        if(m==1)        {            printf("%d\n",n);            continue;        }        ll ans=C(n-m*k-1,m-1);        ans=(ans*n%mod)*qmod(m,mod-2,mod)%mod;        printf("%I64d\n",ans);    }}

对阶乘和阶乘逆元打表，用时更短

#include <stdio.h>  #include <string.h>  #include <iostream>  #include <algorithm>  #include <stack>  #include <vector>  #include <queue>  #include <set>  #include <map>  #include <string>  #include <math.h>  #include <stdlib.h>  #include <time.h>  using namespace std;  #define showtime fprintf(stderr,"time = %.15f\n",clock() / (double)CLOCKS_PER_SEC)  #define lld %I64d  #define REP(i,k,n) for(int i=k;i<n;i++)  #define REPP(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)  #define scan(d) scanf("%d",&d)  #define scanl(d) scanf("%I64d",&d)  #define scann(n,m) scanf("%d%d",&n,&m)  #define scannl(n,m) scanf("%I64d%I64d",&n,&m)  #define mst(a,k)  memset(a,k,sizeof(a))  #define LL long long  #define N 1000005  #define mod 1000000007  inline int read(){int s=0;char ch=getchar();for(; ch<'0'||ch>'9'; ch=getchar());for(; ch>='0'&&ch<='9'; ch=getchar())s=s*10+ch-'0';return s;}  LL f[N], f2[N], inv[N];  void init()  {      f[0] = f[1] = f2[0] = f2[1] = inv[0] = inv[1] = 1;      for (int i = 2; i < N; i++)      {          f[i] = f[i - 1] * i % mod;  //阶乘打表        inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;  //求逆元        f2[i] = f2[i - 1] * inv[i] % mod;  //阶乘逆元打表    }  }  inline LL C (int n, int m) {      if (m < 0 || n < m) return 0;      return f[n] * f2[m] % mod * f2[n - m] % mod;  }  int main()  {      init();      int t;      scan(t);      while(t--)      {          int n,m,k;          scann(n,m);scan(k);          if(m==1)          {              printf("%d\n",n);              continue;          }          LL ans = C(n-1-m*k,m-1) * inv[m] % mod * n % mod;          printf("%lld\n",ans);      }      return 0;  }