低通滤波器1

从 RC 电路 到 数字滤波器 。

参考：wikiPedia

by luoshi006 
欢迎交流~ 个人 Gitter 交流平台，点击直达： 

介绍

原理

低通滤波器

一阶低通滤波器

传递函数

常见的 RC 电路构成的一阶低通滤波器的输入(U) 输出(Y)关系如下：

YU=11+RC⋅S

其中，滤波器的截止频率为：wc=1RC。

将传函转换为微分形式：

y(t)+RCdy(t)dt=x(t)

dy(t)dt=差分=y(k)−y(k−1)Δt，代入得到差分形式：

y(k)=RCΔt+RCy(k−1)+ΔtΔt+RCx(k)

由近似公式：

11+Δt/RC=˙1−ΔtRC

可得：

y(k)=(1−ΔtRC)y(k−1)+ΔtRCx(k)

即，一阶低通滤波的差分形式。

---

二阶低通滤波

过程略；

y(k)=2(1+σΔt)1+2σΔt+ω20Δt2y(k−1)−11+2σΔt+ω20Δt2y(k−2)+ω20Δt21+2σΔt+ω20Δt2x(k)

其中，σ=R2L,ω20=1LC。

---

高通滤波器

依然使用RC电路为模型。 
传递函数为：

G(s)=11+1RC⋅S

=RC⋅SRC⋅S+1

******************* 内容仅作参考 *******************************由 $s=\frac {Z-1}{T}$变换：$$U\cdot RC \cdot Z - U\cdot RC=Y\cdot RC \cdot Z- Y\cdot RC+Y\cdot T$$Z反变换：$$Y(k+1)=U(k+1)-U(k)+(1-\frac{T}{RC}) Y(k)$$
1
2
3
4
5
6
7
8

将传函转化为微分形式：

RC⋅dy(t)dt+y(t)=RC⋅dx(t)dt

转换为差分形式：

y(k)=RCRC+Ty(k−1)+RCRC+T(x(k)−x(k−1))

---

互补滤波器

综上，可知： 
低通滤波器：

y(k)=RCRC+Ty(k−1)+TRC+Tx(k)

高通滤波器：

y(k)=RCRC+T[y(k−1)+Δx(k)]

故，互补滤波器：

y(k)=RCRC+T[y(k−1)+Δxgyro(k)]+TT+RCxacc(k)

angle = (factor) * (angle + gyro * dt ) + (1 - factor) * (x_acc); 
其中，factor 为互补滤波因子，定义域：( 0 , 1 )。