ITASCA PFC 2D&3D DISCERETE ELEMENT MODELING

使用离散元模型，三维圆球程序TRUBAL发展为PFC。

离散元方法的编码思想（转）：

集合中每一个单元都是独立的，每个单元都具有相应的尺寸、质量、转动惯量和接触参数等属性。以牛二和力一位移定理为基础，对每一个单元首先确定与之接触的单元，根据单元之间的重叠量，运用力一位移定理计算单元之间的接触力，从而得到单元的合力和合力矩，之后用牛顿第二定律确定单元的运动规律，如此循环计算，直到系统中所有颗粒都计算完毕。

计算流程：

第一步：建立所需要的几何模型并产生颗粒

几何模型可以根据实际计算模型需要建立，颗粒产生通常为随机产生，及在给定的几何空间内随机产生所需要的颗粒。产生颗粒时需要实时监测新产生的颗粒和已有颗粒之间的位置关系，任意两颗粒之间不能有重叠，否则颗粒之间相互作用力可能很大而导致系统崩溃。

所以如果几何模型尺寸，颗粒尺寸以及颗粒数目之间关系不合适，有可能导致颗粒产生失败。颗粒的初始速度需要根据模拟需要而给定。

第二步：接触探测

计算颗粒之间的相互距离，如果颗粒之间存在相互接触（颗粒之间的距离小于两个颗粒之间的半径和），则要采用接触模型计算相互作用力。

第三步：确定接触模型

接触模型是离散元计算的核心。

所谓接触模型就是确定颗粒接触时的相互作用力。离散元计算中首先把相互作用力分解为法向力和切向力（法向指的是两接触颗粒中心之间的连线），所以接触模型一般包含法向相互作用和切向相互作用。

在目前的离散元计算模拟中，一般来讲，可以把所涉及到的接触模型分为两大类：

1） 非结合性接触力模型。此种接触模型不考虑颗粒之间的相互吸引力，颗粒之间的相互作用以弹簧-粘壶模型来近似。弹簧代表颗粒之间的弹性相互作用，粘壶代表颗粒之间由于碰撞而引起的能量耗散。切向相互作用还要考利库仑最大摩擦力约束。

2）结合性接触力模型。微观上来讲，任何颗粒材料都由原子分子构成，然后原子分子之间存在van der Waals相互吸引力。当颗粒尺寸比较大时，van der Waals相互吸引力和颗粒自身重力相比较而言，对颗粒本身运动的影响可以忽略不计；然后，随着颗粒尺寸减小，颗粒之间的相互吸引力变的和重力相当；当颗粒尺寸进一步减小时，颗粒之间相互吸引力要远远大于颗粒自身的重力。此时，就必须要考虑颗粒之间的相互吸引力。

目前来讲，为了描述颗粒之间的相互引力作用力，有以下几个模型可以选择：

A. Johnson-Kendall-Roberts(JKR) 模型^[1] 

JKR模型首先是基于能量平衡原理，从赫兹的非结合性接触力模型而建立的。在JKR 模型中，颗粒之间的相互吸引力用表面能代表。并且颗粒之间的相互吸引作用只存在于接触面积之类，不考虑颗粒之间其他部分的吸引相互作用。因此，JKR模型对大的，比较软的颗粒材料描述比较好。

B, Derjaguin-Muller-Toporov(DMT)模型^[2] 

DMT模型建设两个颗粒之间的接触变形和赫兹模型相同，但在接触面积之外，存在一个额外的相互吸引作用力。DMT模型对小的比较硬的颗粒材料描述比较好。

早期，当JKR和DMT模型被提出时，人们争论哪一个模型是正确的，后来研究发现，两个模型都正确，他们考虑的颗粒之间接触的两个极端情况，基于材料性质，应该有区别的加以选取。1977年，人们提出Tabor 系数作为选取依据，Tabor系数是表面能，等效模量等材料性质的函数。JKR模型对大的Tabor系数适用，而DMT模型则反之^[3]  。

C. van der Walls模型^[4] 

此模型是基于颗粒之间的van der Walls相互作用直接推导得出。van der Waals相互作用能可以知道，然后对距离求导就直接得到力的表达式。

第四步：考虑其他相互作用力

有时，在颗粒系统中，取决于外部条件，需要考虑其他类型的相互作用力。例如，如果环境比较潮湿，则需要考虑颗粒之间的液桥相互作用力；如果颗粒表面本身带有电荷，则要引入颗粒之间的静电相互作用；如果有外加磁场并且颗粒材料本身有磁矩，则要考虑外磁场引起的磁性力。所有这些类型的相互作用力，都可以嵌入在离散元模型之中。

第五步：考虑颗粒和边界之间的相互作用

计算模型的边界可以是全部周期性边界条件（x,y,z方向，全部采用周期性边界），也可以是部分周期性边界。在非周期性边界条件时，则要给出颗粒本身和边界之间如何相互作用。接触模型和颗粒之间相互作用的接触模型类似。

第六步：计算总的受力、加速度

综合颗粒之间的相互作用力以及其他需要考虑的特殊相互作用力、以及颗粒与边界之间的相互作用力，可以得到颗粒本身受的合外力，以此可以求得加速度

第七步：更新颗粒速度，坐标

根据加速度，更新颗粒速度，角速度，坐标等变量。坐标更新后，再进行接触探测，整个计算流程进入下一个循环。

第八步：保存数据

第九步：分析处理