完全背包

完全背包：

在N种物品中选取若干件（同一种物品可多次选取），放在体积为V的背包里，每种物品的体积为w1，w2......wn，与之相对应的价值为v1，v2......vn，求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大？

动态规划：

dp[i][j]表示前i种物品中选取若干件物品放入体积为j的背包中所能得到的最大价值。

状态转移方程：

dp[i][j] = max（dp[ i - 1 ][ j - k * w[i] ] + k * v[i]），0 <= k * w[i] <= j

其中dp[ i - 1 ][ j - k * w[i] ] + k * v[i]表示从前i-1种物品中选取若干件物品放入体积为j - k * w[i]的背包中所能得到的最大价值加上k件第i种物品的价值。

如果直接按照此状态转移方程进行dp，会有三层循环，复杂度为O（NV∑（j/w[i]）），可以基于01背包的思想进行多个优化，最后的复杂度为O（NV）。

实现：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;int dp[10000];int w[100],v[100];//体积 价值int main(){  int N,V;  memset(dp,0,sizeof(dp));  scanf("%d%d",&N,&V);  for(int i = 1;i <= N;i++){    scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);  }  for(int i = 1;i <= N;i++){    for(int j = w[i];j <= V;j++){       dp[j] = max(dp[j],dp[j - w[i]] + v[i]);    }  }  return 0;}

优化一：采用一维数组，空间复杂度更低。不同于01背包的是，01背包采用一维数组体积需要逆序，而此处为顺序。原因是可以重复放置物品。

优化二：减少了枚举k这层循环，时间复杂度更低。不用去枚举k，原因是，当去顺序枚举体积，已经隐含着某类物品可以放多个。